416 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 6. April 1 905. — Mittheilung v. 23. März. 



Ersetzt man nun in der rechts stehenden Summe S durch R'^S, 

 also -S"' durch S'^R, so ergibt sich wegen (6.) 



X CrsAs-\ = 2 CsAs-iR 

 s s 



= 2 CsAs-^Ar 



s 



= hF'-AB. 

 Daher ist 



(8.) CrAe+Dj,F'=F'Ar. 



Ist nun die Determinante von A'i nicht 0, so ist A^ = E,; daher 

 genügt F ^= F' der Gleichung (5.). In jedem Falle wird diese Gleichung 

 durch die Matrix 



F= F'-DeCe 



befriedigt. Denn setzt man in (7.) <S = E, so erhält man 



(9.) CrAe+DrCe= Cr, 



und hieraus folgt durch Multiplikation mit Ag, daß DrCeAs =z ist. 

 Daher ist 



FÄr = F'Ar- De CeAr = F'Ak. 

 Andererseits ist 



Cr+DrF= Cr-DrCe+DkF'. 



Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber wegen (8.) und (9.) gleich 

 CrAe + DrF' = F'Ar. Folglich ist in der Tat, wie zu beweisen ist, 

 Cr + DrF=FAr.' 



' Hr. Maschke beweist den Satz nur für den allein wichtigen Fall, daß die 

 Determinanten der Substitutionen (R) von verschieden sind, und stützt sich hierbei 

 auf den zuerst von den HH. A. Loewy (Coniptes Rendus 1896, S. 168) und E. H. Moore 

 (Math. Ann. Bd. 50, S. 213) bewiesenen Satz, daß sich für jede endliche Gruppe linearer 

 Substitutionen von nicht verschwindenden Determinanten eine positive HERiirrEsche 

 Form angeben läßt, deren Determinante nicht Null ist, und die bei allen Substitutionen 

 der Gruppe ungeändert bleibt. 



Auf den hier angegebenen elementaren Beweis bin ich durch die folgende Mit- 

 teilung des Hrn. Froeenius geführt worden, die eine Vereinfachung und Präzisierung 

 des MAscHKEschen Beweises enthält: 



Es sei_/=5 Ä^5„xg eine positive HERjirrESche Form von nicht verschwin- 



dender Determinante, die durch alle Substitutionen Q = (Ä) = (^ „ '^^^ Gruppe 



\^Ä ^R/ 

 (A'r C'r\ 



in sich transformiert wird. Lst dann Q' = _, I die zu Q konjugierte und konju- 



giert komplexe Substitution, so besteht, falls H die Matrix (^„3) bedeutet, die Gleichung 



Q' HQ = H. Schreibt man nun entsprechend H in der Form I . -,1, so erhält 



man die Gleichungen 



D^LAj, + D'j^MCr = L . D'jiMDj, = M. 



Nun ist — und dies ist der springende Punkt des Beweises — in einer positiven 

 HERMiTEScheu Form von nicht verschwindender Determinante jede Hauptunterdeter- 



