1. Schür: Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere. 41 i 



Ehe ich in der Untersuchung weitergehe, will ich als eine ein- 

 fache Folgerung des Satzes VII einen bekannten Satz über Matrizen 

 ableiten. 



Es sei J eine Matrix des Grades n, die der Gleichung J^ =^ J 

 genügt. Ist nun r der Rang von J, so lassen sich zwei Substitutionen 

 A und B von nicht verschwindenden Determinanten angeben, so daß 

 AJB = K die Form 



-(o-:) 



annimmt. Setzt man dann B ^JB = J', so wird KJ' = K. Hierau.'- 

 folst leicht, daß J' die Form 



('cD 



besitzt. Hierbei muß, da r auch der Rang von J' ist, JD = sein. 

 Nun läßt sich aber J als eine Darstellung der allein aus dem Haupt- 

 element E bestehenden endlichen Gruppe auffassen. Daher muß J 

 nach Satz VII auch der Matrix 



-c:) 



ähnlich sein. 



Da ferner auch die Spuren von J und J" übereinstimmen, die 

 Spur von J" aber gleich r ist, so ergibt sich zugleich, daß für jede 

 Matrix, die der Gleichung J- := J genügt, Spur und Rangzahl ein- 

 ander gleich sind. 



Es sei nun Ä' = 2 {R)Xu eine zu der Gruppe § gehörende Gruppen- 

 matrix von verschwindender Determinante. Es werde {E) = J gesetzt. 

 Ist nun r der Rang von J , so läßt sich, wie wir gesehen haben, eine 

 Matrix P bestimmen, so daß J" = P'^JP die Form (lO.) annimmt. 

 Setzt man nun P"' XP — X", so ergibt sich aus der Gleichung 

 J"X"J" = X", daß X" die Form 



ifl) 



besitzt, wo ^i eine Gruppenmatrix des Grades r ist, deren Determi- 

 nante, weil A'i für Xj;= \, Xg — 0(R + E) gleich E^ wird, von Null 

 verschieden ist. Hieraus folgt: 



niinante von Null verschieden , und mitliin ist die Determinante von M nicht Null. 

 Durch Elimination von D« aus den obigen Gleichungen ergibt sich 



Cjt + M-'LAß = DjiM-'L. 

 Daher genügt die Matrix F = — M~' L der Gleichung (5.) de.s Textes. 



