418 Sitzung der phys.-niatli. Classe v. Ö. April 1905. — Mittheilung v. 23. Mary. 



VIII. Ist X eine Gruppenmatrix vom Range r, so ist X einer Gruppen- 

 matrix der Form 



(o-S) 



äquivalent, wo Xj eine Gruppenmatrix des Grades r von nicht verschwin- 

 dender Determinante ist. 



Man zeigt auch leicht, daß, wenn A^ noch einer zweiten Gruppen- 

 matrix ( ' J äquivalent ist, wo X[ ebenfalls von nicht verschwin- 

 dender Determinante ist, X, und X[ äquivalent sein müssen. 

 Allgemeiner ergibt sich aus dem Satze VII leicht: 

 IX. Jede Gruppenmatrix X des Grades n und des Ranges r ist einer 

 Gruppenmatrix äquivalent j welche die Form 



(II.) 



liat, wobei X, , A'^ , ■•• , X,„ irreduzible Gruppenmatrizen bedeuten, und N„_, 

 die Nulhnatrix des Grades n-r ist. 



Ist insbesondere § eine AsELsche Gruppe, so ist jede zu § ge- 

 hörende irreduzible Gruppenmatrix vom Grade 1. Aus IX folgt daher 

 speziell, daß jede Darstellung einer AsELschen Gruppe der Ordnung h 

 durch lineare Substitutionen von niclit verschwindenden Determinanten 

 einer Darstellung äquivalent ist, deren Substitutionen in der Haupt- 

 diagonale Ä*" Einheitswurzeln, sonst überall Nullen enthalten. Für 

 den weiteren speziellen Fall der zyklischen Gruppe ergibt sich hieraus 

 der bekannte Satz, daß jede periodische Substitution A, d. h. jede Sub- 

 stitution des Grades n, für die eine Gleichung der Form A'' = E„ be- 

 steht, einer anderen ähnlich ist, unter deren Koeffizienten die in der 

 Hauptdiagonale stehenden A'' Einheitswurzeln, die übrigen aber gleich 

 Null sind. Hieraus folgt auch, daß die Spur jeder periodischen Sub- 

 stitution als eine Summe von Einheitswurzeln darstellbar ist. 



Ist wieder § fbie beliebige endliche Gruppe und A' = ^ (S)Xs 

 eine zu ^ gehörende Gruppenmatrix des Ranges r, so ergibt sich aus 

 dem Satz VIII. leicht, daß, wenn s die Ordnung des Elementes S be- 

 deutet, die Spur der Substitution (»S) einer Summe von r Einheits- 

 wurzeln des Grades s gleich ist. 



Ferner gilt der Satz: 



X. Ist eine Gruppenmatrix X, deren Determinante 'nicht verschwindet, 

 zwei Gruppenmatrizen 



