I.Schur: Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere. 41 i) 



'X, ■■■ \ /x; ••■ \ 



Xa ■ • • i l Xi \ 



• • • X„ / \ • • ■ x^. / 



äquivalent, wo die X^ und X^ irreduzibel sind_, so muß m = /«' sein und 

 die Gruppenmatrizen X^, X.^, ■■ ■ , X,„ müssen^ abgesehen von der Reihen- 

 folge ^ der Gruppenmatrizen X[ , X^, ■■■ , X^, äquivalent sein. ' 



Es seien nämlich *, $^ und *^ die Determinanten von X, X^ 

 und X^. Dann sind nach Satz VI die Funktionen i^ und *^ irredu- 

 zibel, ferner ist 



<i> = 4>j $2 . . . $^ ^ $', $2 ■ ■ ■ *'«'• 



Da nun bekanntlich eine Funktion <t nur auf eine Weise in Prini- 

 faktoren zerlegbar ist, so muß m = i7i sein, ferner müssen die Funk- 

 tionen #, , *2 ! •■■)*»■) abgesehen von konstanten Faktoren, in einer ge- 

 wissen Reihenfolge mit den Funktionen *i , $2 > ■ " > *1 übereinstimmen. 

 Beachtet man jedoch , daß die Determinante einer Gruppenmatrix, 

 sofern sie nicht verschwindet, für das Wertsystem .t^ =z 1 , x^ = (Ä =# £■) 

 gleicli 1 wird, so ergibt sich, daß die Funktionen $^, abgesehen von 

 der Reihenfolge, den Funktionen ^'^ direkt gleich sein müssen. Nach 

 Satz VI folgt hieraus aber, daß die Gruppenmatrizen X-^, abgesehen 

 von der Reihenfolge, den Gruppenmatrizen X!^ äquivalent sind. 



Betrachtet man nun zwei äquivalente irreduzible Gruppenmatrizen 

 als nicht wesentlich voneinander verschieden, so folgt aus IX und X, 

 daß jeder Gruppenmatrix X ein wohlbestimmtes System von irredu- 

 ziblen Gruppenmatrizen X^,X^, ■■■ , X„, entspricht , so daß , falls n den 

 Grad und r den Rang von X bedeutet, X der Gruppenmatrix (11.) 

 äquivalent ist. Die Gruppenmatrizen X^, X^. ■■■ X„, mögen nun als 

 die irreduziblen Bestandteile von X bezeichnet werden. 



Die irreduziblen Bestandteile einer Gruppenmatrix lassen sich 

 ferner stets so wählen, daß je zwei äquivalente unter ihnen einander 

 gleich werden. Kommt dann JQ genau r.^ mal vor, so wollen Avir r^ 

 den Index von X^ nennen.^ Es gehört daher zu jeder Gruppehmatrix 

 X ein gewisses System von /irreduziblen Gruppenmatrizen, von denen 

 nicht zwei äquivalent sind, und ein gewisses System von l Indizes 

 ^1 5 ''2 ! ■■ ,i'i, tlie wir kurz die Indizes der Gruppenmatrix X^ nennen. 



' Dieser Satz ist als spezieller Fall in einem allgemeinen von Hrn. A. Loewy 

 (Transactions of the Amer. Mathematical Society, Bd. 4, S. 44) bewiesenen Satze ent- 

 halten. 



^ Bedeuten * und *^ die Determinanten von X und X^ und ist $ nicht gleich 0, 

 so gibt r-i^ den Exponenten der höchsten Potenz der irreduziblen Funktion "l';^ an, die 

 in * aufgeht. 



