420 Sitzung der phys.-math. Classe v. 6. April 1905. — Mittheilung v. 23. März. 



E.s gilt dann der Satz: 



XI. Es sei X = {x„ß) eine Gruppenmatrix von nicht verschwindender 

 Determinante j es seien ri,r^, ■■■ , r, die Imlizes von X und /, ,/( , •••,/( 

 die Grade der zugehörigen irreduzihkn Gruppenmatrizen. Dann ist f^ + 

 f^ jf- ... 4-yj2 gleich der Anzahl g der linear unabhängigen unter den Funk- 

 tionen x^g, der h Variabein x^. Ferner ist rl + r^ + ---+r^ gleich der 

 Anzahl V der linear unabhängigen unter den mit X vertauschbaren konstanten 

 Matrizen P. Endlich ist l gleich der Anzahl v' der linear unabhängigen 

 unter den konstanten Matrizenj die mit X und zugleich mit alleii eben 

 charakterisierten Matrizen P vertauschbar sind. 



Es seien nämlich X^, X^, ■■■ , X,„ die irreduziblen Bestandteile von 

 X, so daß X der Gruppenmatrix 



(X, ■•■ 

 • • • X, 



äquivalent ist. Dann sind unter den Koeffizienten A-on X' nach Satz V^ 

 genau fi +f2 + ■■■ + fi' linear unabhängig. Daher ist in der Tat 



9 = /'+/' + ■■■+/>■ 



Um noch die beiden letzten Behauptungen unseres Satzes zu be- 

 weisen, nehmen wir, was ohne Beschränkung der Allgemeinheit ge- 

 schehen darf, an, die Matrizen A'^i , Xj . ■••, .\'„, seien so gewählt, daß 

 die ?•, ersten, die r^ folgenden usw. einander gleich werden. Es mögen 

 dann die Grade von A", , A'^j , •■ • , A„, fortlaufend mit s^,s^, ■■■ ,s„ be- 

 zeichnet werden. 



Die Zahlen v und v' bleiben offenbar ungeändert, wenn man X 

 durch A'' ersetzt. — Es sei nun P eine mit X' vertauschbare kon- 

 stante Matrix. Wir können dann P in der Form 



P = 



.»11 "l2 • ■ .fln 

 ^21 "22 ■ ■ ■ ^2» 



P.l P™2 ■■■P,n, 



schreiben, wo P„s, eine Matrix mit .>?„ Zeilen und s^ Spalten bedeutet. 

 Aus X'P = PX' folgt dann 



Sind nun A'„ und Xg nicht einander gleich, also auch nicht äqui- 

 valent, so ist P„ß = 0; ist ferner X^ = X3, so muß P^ die Form 

 aF„ besitzen, wo i^„ = J5!,„ die Einheitsmatrix des Grades s„ = Sg be- 

 deutet. Daher hat P die Form 



