I. Sciuir: Nein» Hcgriimliing der Tlieoi-ic der (iriiiipencliaraktt-i-e. 



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P = 



Pr, 1 -^'l ••• Pr, r,^i 



••• y,,K 



11 -*>, + 1 " ' ' 9iro -'';■, + 1 ■ ■ 



Unifickclirt ist jede Matrix P von dieser Form mit A' vertiuisc-li- 

 bar. Daher ist v gleich der Anzahl der in P willkürlich bleibenden 

 Koeffizienten p„ß , q^^, ■■■ , d. h. es ist in der Tat v = rl + }-l+ ■■■ + r], 



Soll ferner die konstante Matrix Q mit X und zugleich auch mit 

 allen P vertauschbar sein, so muß zunächst Q dieselbe P'orm liaben 

 wie P. Es möge etwa Q aus P dadurch hervorgehen, daß für p^g,, 

 q^, ■■■ die Größen p'^/^, q!^, ••■ gesetzt werden. Soll nun Q noch mit 

 allen P vertauschbar sein, so muß, wie man leicht sieht, die Matrix 

 (paß) mit allen Matrizen {p„3,). ebenso (g'^^) mit allen Matrizen (g-.^j) 

 vertauschbar sein, usw. Hieraus folgt aber, daß die Matrizen (^^5), 

 ((j'yh)^ ■•■ sich von den P^inlieitsmatrizen der Grade rj.r^, ■•• nur um 

 konstante Faktoren unterscheiden. Diese Bedingung ist auch offenbar 

 hinreichend dafür, daß Q mit X und zugleich mit allen P vertauschbar 

 sei. Die Anzahl v der linear unabliängigen unter den Q ist aber gleich 

 der Anzahl der in Q willkürHch bleibenden Koeffizienten. Da diese 

 Anzahl gleich / ist, so ist, wie zu beweisen ist, «' := l. 



§4. 



Aus dem Satz V geht bereits leicht hervor, daß die Anzald der 

 zu der Gruppe <ö gehörenden, einander nicht äquivalenten irreduziblen 

 Gruppenmatrizen endlich und zwar höchstens gleich h ist. 



Um nun die sämtlichen verschiedenen irreduziblen Gru])penmatrizen 

 zu charakterisieren und ihre genaue Anzahl zu bestimmen . betrachten 

 wir die spezielle Gru2?i)enmatrix A'''° Grades von nicht verscliwindender 

 Determinante 



deren Zeilen und Spalten man erhält, indem man für P und Q der 

 Reihe nach die Elemente H„, H^, •■■ , H^_i der Gruppe sc^tzt. Diese 

 Gruppenmatrix entspricht der bekannten Darstellung von § als Gruppe 

 regulärer Permutationen und möge daher als die reguläre Gruppen- 

 matrix bezeichnet werden. 



Es seien nun unter den irreduziblen Bestandteilen von X im ganzen 

 k einander nicht äquivalent, etwa die Gruppenmatrizen Xo,X,,--, 

 X^._, . Es sei ferner /, der Grad von X^ und e^ der zugehörige Index, 



