422 Sitzung der pliys.-math. Classe v. 6. April 1905. — Mittheilung v. 23. März. 



SO (laß also, wenn die Determinanten von X,Xg, •••,Xi._i mit 0, 

 *o ) ■ ■ • ) **-! bezeichnet werden, 



& = <"<'■■■<-: 



wird. Es gilt dann der Satz: 



XII. Die Zahlen f„ und e^ sind einander gleich. Ferner ist die Zahl k 

 gleich der Anzahl der Klassen konjugierter Elemente der Gruppe. 



Der Beweis ergibt sich auf Grund des Satzes XI sehr einfach. 

 Zunächst ist oflfenbar 



(12.) «„/„ + <>,/.+ •■•+ <?x_./x-i = h . 



Da ferner unter den Koeffizienten der Matrix Ä" genau h linear unab- 

 hängig sind, so ist 



Wir betrachten nun die mit X vertauschbaren Matrizen 



deren Koeffizienten von der x^ unabhängig sind. Man zeigt leicht, 

 daß I" dann und nur dann mit X vertauschbar ist , wenn 



ist. Setzt man nun 



so wird yp,q = yq-M-, also 



Die Anzahl der in F willkürlich bleibenden Koeffizienten, die uns die 

 Anzahl der linear unabhängigen unter den Y angibt, ist nun gleich h. 

 Folglich ist nach Satz XI 



(14.) e^ + e?+ ■■• +«t, =Ä. 



Aus den Gleichungen (12.), (13.) und (14.) folgt aber 



(eo-foT- + [e.-f.Y + ■ • • + (e,_,-f,_,f = , 



folglich ist in der Tat e^ = /„ . 



Um nun die Anzahl Ar genauer zu bestimmen, haben wir noch die 

 konstanten Matrizen 



zu betrachten, die mit A' und zugleich mit allen F vertauschbar sind. 

 Es ergibt sich, daß 



