1. Schür: Neue Begrüiiduiig der Theorie der Gnipijeucliariiktei-e. 42H 



sein muß. Setzt mau 5,; /^ = Zj^, so wird 



Ersetzt man P durcli PQ, so erhält man 



(150 •^p = •^(;j-ipQ • 



Umgekehrt ist jede Matrix Z=: (xtq.,;,), deren Koeffizienten ^„„,2„,, ••■ ,2„ 

 den Bedingungen (15.) genügen, mit X und auch mit F vcrtausehbar. 

 Hierbei wird also Zj, dann und nur dann gleich 2^^, wenn R auf die 

 Form Q~^PQ gebracht werden kann, d.h. wenn P imd R konjugierte 

 Elemente sind. Daher ist die Anzahl der in Z willkürlichen bleibenden 

 Koeffizienten, die nach Satz XI mit Ic übereinstimmen muß, gleich der 

 Anzahl der Klassen konjugierter Elemente, in die die Elemente der 

 Gruppe zerfallen. 



Aus der Gleichung (13.) ergibt sich leicht der wichtige Satz: 

 XIII. Die Anzahl der zu der Gruppe § gehörenden^ einander nicht 

 äquivalenten irreduzihlen Gruppetimatrizen (Darstellungen) ist genau gleich 

 der Anzahl k der Klassen konjugierter Elemente der Gruppe. 



Zunächst folgt ans dem Vorhergehenden, daß mindestens k nicht 

 äquivalente irreduzible Gruppenmatrizen existieren, nämlich die k irre- 

 duziblen Bestandteile X(, , Xj , • • •, X^._, der regiüären Gruppenmatrix. Es 

 muß aber jede andere irreduzible Gruppenmatrix X' einer dieser k Grup- 

 penmatrizen äquivalent sein. Denn wäre dies nicht der Fall, so müßten, 

 falls /' den Grad von A^' bedeutet, die 



Koeffizienten der k+\ irreduzibleii Gruppenmatrizen A'^ , X, , •••,X^._, . 

 X' untereinander linear unabhängig sein. Dies ist jedoch nicht mög- 

 lich, da nicht mehr als h linear unabhängige lineare homogene Funk- 

 tionen der h Variabein Xn existieren können. 



§5. 



Bilden die Substitutionen (H^) , [H^) , ■ ■ ■ , (H^^i) eine Darstellung 

 der Gruppe ^, und ist %{R) die Spur der Substitution {R), so nennt 

 man das System der h Zahlen %{R) den der Darstellung oder der 

 zugehörigen Gruppenmatrix X entsprechenden Charakter. Insbesondere 

 bezeichnet man jeden einer irreduzihlen Darstellung entsprechenden 

 Charakter als einen einfachen Charakter der Gruppe. 



Da nun zwei äquivalenten Darstellungen derselbe Charakter ent- 

 spricht, so ist die Anzahl der einfechen Charaktere der Gruppe gleich 



