424 Sitzuiif; der pliy.s.-matli. Classt' v. ti. April 1905. — Mittlieilung v. 23. März. 



der Anzalil k der niclit äquivalenten irreduziblen Gruppenmatrizen X^, , 

 Xi, ■■■ , X^_i . Die zugehörigen Gliaraktere sollen mit 



x(»HA'),x'"(ß).---,x('-"(/0 



bezeichnet werden. 



Die Zahl %(/'>) = r niltt den Ran,^,- der Matrix (£") und also auch 

 den Rang der Gruppenmatrix .Y an. Diese Zahl soll der Grad des 

 Gharakters %(R) genannt werden. Insbesondere ist der Grad 



dos einlachen (Charakters %'■'(/?) gleieii dem (Jrade der zugehörigen 

 Gruppenmatrix A^ . 



Allgemeiner ist y^(R) eine Summe von ;• Einheitswurzeln. Ist 



X(/?) = p, + p,+ ■■■ +p._,, 

 so ist 



x(A'->) = pr' + p.;' + ---+pr_\; 



daher sind %{R) und x(7? ') konjugiert komplexe Größen. Ersetzt 

 man ferner in den Matrizen {R) jeden Koeffizienten durch den kon- 

 jugiert komplexen Wert, so bilden auch die so entstehenden Matrizen 

 eine Darstellung der Gruppe. Ist daher %{R) ein Charakter, so bilden 

 auch die Zahlen %'(Ä) = %{R'^) einen solchen. Die Charaktere %{R) 

 und %'(R) werden incerse (Hiaraktere genannt. Man schließt auch 

 leicht, dal3, wenn %^'\R) ein einfacher Charakter ist, der inverse Cha- 

 rakter y}^\R'^) = %**'(/0 ebenfalls ein einfacher Charakter ist. 



Da ferner für je zwei Matrizen {R) und (<S) die beiden Produkte 

 {R)(8) und {S){R) dieselben Spuren besitzen, so ist für je zwei Ele- 

 mente R und /S der Gruppe 



(VI.) x{RS)^x(SR). 



Ersetzt man hierin R durch S~^R, so ergibt sich 



(VI'.) x{R) = x(S-'RS}. 



Gehören daher zwei Elemente P und R derselben Klasse konjugierter 

 Elemente an, so ist stets %(P) = %{R) . 



Ist unter den irreduziblen Bestandteilen der Matrix X die irre- 

 duzible Gruppenmatrix X^ genau r^>(> mal enthalten, so ist ofienbar 



(i6.) x{R) = '-«x'-Mä) + »-ix^H/?) + • ■ ■ + »-A-.x'^-'Hß) • 



Bedeutet A' speziell die reguläre (iruppenmatrix . so wird, da die Spur 

 von X = (XpQ-i) gleich hxg ist, 



X(Ä) =/'£;,, 



