426 Sitzung der phys.-ninth. Classe v. 6. April 1905. — Mittheilung v. 23. März. 



Sind nun S und T""' zwei nicht konjugierte Elemente der Gruppe, 

 so wird die Gleichung .SÄ"' TR = E durch kein Element R befriedigt, 

 daher ist in diesem Fall 



(XIII.) Xx^HS)x'^HT) = 0. 



Gehören dagegen <S und T"' einer Klasse konjugierter Elemente an, 

 die aus hg Elementen besteht, so besitzt die Gleichung SR~^ TR = E 



genau j- Lösungen R. Ferner wird dann %'■'(?") = 'X.'''('S~'); daher 



"'S 



besteht die Gleichung 



(XIV.) 2x'«)(*')x*e)(S-)=iL. 



e /lg 



Die Relationen (VI.) bis (XIV.) bilden die Grundlage der Theorie 

 der Gruppencharaktere. Die wichtigsten unter ihnen sind die Formeln 

 (VI), (VII.). (IX.), (X.) und (XII.). Die übrigen lassen sicii aus diesen 

 durch eine einfache Rechnung ableiten. 



Es sei nun X eine beliebige Gruppenmatrix, für die die Zahlen 

 %(R) und r^ dieselbe Bedeutung haben wie früher. Multipliziert man 

 dann die Gleichung (i6.) mit -/.'«'(Ä"') und bildet die Summe über 

 -ß = i?„, i^i , ■■• . i?A_i, so ergibt sicli auf Grund der Relationen (IX.) 

 und (XII.) 



Är,= > X(^)x'^Hß ')• 



Daher sind die Zahlen 7\ vnid folglicli auch die irreduziblen Bestand- 

 teile der Gruppenmatrix A' allein durch den Charakter %(R) bestimmt. 

 Hieraus ergibt sich der fundamentale Satz: 



XIV. Zwei Darstellungen der Gruppe § durch lineare Substitutionen 

 von nicht verschwindenden Determinanten sind dann und nur dann äqui- 

 vakntj wenn ihnen derselbe Charakter entspricht. Allgemeiner sind zwei 

 Darstellungen dann und nur dann äquivalent^ wenn sif denselben Grad 

 und denselben Charakter besitzen. 



Ferner besteht der Satz: 



XV. Der Grad jeder irreduziblen Darstellung der Gruppe § ist ein 

 Divisor der Ordnung der Gruppe. 



Dies folgt aus der Gleichung (VIII.), die man auch in der Form 



5xW(R)jj^,«-.-x*^'(SÄ-^)} = o 



schreiben kann. Da nämlich die h Zahlen x*-'(-R) nicht sämtlich gleich 

 sind', so muß die Determinante //'" Grades 



' Die Zahl x'-H-S) =/e ist jetlenfalls nicht Null. 



