I.Schur: Neue Begrüiidutiff iler Theorie der Gnippencharaktere. 42 < 



|4f„^-,-X**M^Q-')| (F,Q=W„, //.,■•.//,-,) 



verschwinden. Beaclitot man noch, (hiß die Größen %*^' (i?) ganze alge- 

 braische Zahlen sind, so ergibt sich, daß die Zahl y einer Gleichung 



der Form 



x'^ + c^x''-^ + ••■ + c/i = 



mit ganzen algebraischen Koeffizienten genügt. Folglich ist die Zahl 

 eine ganze algebraische und also, da sie rational ist, eine ganze ratio- 



nale Zahl. 



§6. 



Als eine Charakter iMische Einheit der Gruppe 9^ bezcMcliiiet man 

 ein System von h Größen 



a , a , ■■ ■ , a , 



für die die h Relationen 



R 



bestehen. Ebenso nennt man dann auch die Matrix A*"" Grades J = («pq-O 

 eine Einheit. Damit die Zahlen o« eine Einheit bilden , ist notwendig 

 luid hinreichend, daß die Gleichung A^ ^ A erfüllt sei. 



Ist ferner A' = (Xpq^,). so nennt man die Matrix X= (xq-, p) die 

 zu X nntistrophe Matrix. Setzt man Y = {ypq-^) und Y — (j/q-rp), so 

 sind X und Y vertauschbar, ferner ist, falls XY = Z Avird, die zu 

 Z antistrophe Matrix Z gleich YX. 



Ist nun A = (ö^q-i) eine Einheit, A die antistrophe Matrix, so 

 ist auch A^ = A, ferner besitzt die Matrix X' = AX die Eigenschaften 

 einer Gruppenmatrix. Ihre Spur ist gleich 



Daher bilden die Zahlen 



cp(Ä) = 2 as_.Ä.s 



einen Charakter des Grades Aß^, den man als den durch die Einheit a^ 

 bestimmten Charakter bezeichnet. Ist cp(ß) ein einfacher Charakter, so 

 heißt die Einheit eine primitive. 



Kennt man eine den einfachen Charakter %{R) bestimmende Ein- 

 heit A = (apq-x), so kann man auch eine dem Charakter y^iR) ent- 

 sprechende irreduzible (;ru[)penmatrix Ä\ konstruieren. Hierzu hat 



