gesetzt. Dann ist 

 In der Tat ist 



I. Schur: Neue Begründung der Tlieoiic der Gniii[iencliaraktere. 429 



folgt wegen {17.), indem man links mit A,^^, rechts mit A^^ multi- 

 pliziert, c^^A^s = , also Cyi = . 

 Es werde nun 



J ?•»• 



Die rechte Seite ist aber, wie zu beweisen ist, gleich -je„g,%(R). 



Die Gleichung Al„ = A„„ lehrt uns insbesondere, daß die h Größen 

 yöf, eine Einheit bilden. Da der durch sie bestimmte Charakter gleich 



cp^„{R) = %(R) ist, so ergibt sich: 



XVI. Bilden die h Substitutionen f''" Grades {a"^) eine irreduzible Dar- 

 stellung der Gruppe^ die dem Charakter %(R) entspricht, so repräsentieren 



f 

 für jedes ot, die h Größen j- of„ eine den Charakter y^(R) bestimmende cha- 

 rakteristische Einheit. 



Ferner gilt der Satz: 



XVII. Ist A = (apq-,) eine den Charakter %{R) bestimmende (pri- 

 mitive) Einheit, so lassen sich (auf eine und nur eine Weise) f" Größen 

 4ß berechnen, so daß 



_/v 



„3 



h -„""Ä^-a 



wird. Die Matrix A = (/„j) genügt dann der Gleichung A^ = A und ii^t 

 vom Range 1. 



Ist nämlich wie früher X = (xpQ-\) die reguläre Grujjpenmatrix, 

 so besitzen AX und A^^X dieselbe Spur 2 %{R~')xg. Daher muß sich 

 eine Matrix h^"" Grades K bestimmen lassen, so daß 

 ÄX= K-'ÄuXK 



wird. Speziell ergibt sich für X= E/, die Gleichung A = K'^AiiK. 

 Setzt man nun X^J, so erhält man, da, wie leicht zu beweisen, 

 Ä^yJ = A^i ist, 



.JA = 2.7 = A'-' J„7v = Ä. 



Sitzinicsbei-ichte 1005. 41 



