II..Ii!N(i: Die allgeniciiu'ii Tlietafimetionen von vier Veräiidcrliclicii. 4öO 



Es sei K ein ;ili>ebraischei' Körper vom Geselilechte 3. Es 

 seien ferner dxo^^\ dw^'\ dw^^^ drei in ihm enthaltene linear unabhängift'e 

 Difl'erentiale erster Gattung. Zu diesem Körper gehören 4' Tlieta- 

 funktionen erster Ordnung mit zweiteiliger Charakteristik. Diese be- 

 zeiclmen wir mit S-(w''', «0'^', w'^*) =: S-(zo) oder auch, um die untere 

 Grenze der Integrale io*'', («'"', w'^* hervortreten zu lassen, mit 9-(w — tv'). 

 Die 4^ verschiedenen Funktionen unterscheiden wir dadurch, daß wir 

 jeder zweiteiligen Charakteristik ein Zeichen zuordnen und dann jeder 

 Thetafunktion das Zeichen ihrer Charakteristik als Index geben. Wir 

 bezeichnen diejenige Charakteristik, die in der ersten Zeile an der 

 11^"' Stelle eine i und sonst nur Nullen enthält, mit ct)„ und diejenige, 

 die in der zweiten Zeile an der ti'"" Stelle eine i und sonst nur Nullen 

 enthält mit 7r„. Die aus lauter Nullen bestehende Charakteristik be- 

 zeichnen wir mit w^ oder tt^. Aus den so bezeichneten Charakteristiken 

 lassen sich alle anderen zusammensetzen. Solch eine zusammenge- 

 setzte Charakteristik bezeichnen wir dadurch, daß wir die Zeichen 

 ihrer Komponenten neben einander schreiben. Im folgenden soll tt 

 immer eine Charakteristik tt,- oder eine aus ihnen zusammengesetzte 

 bezeichnen und eine analoge Bedeutung soll uo haben. 



Jede Charakteristik definiert gleichzeitig eine bestimmte Periode 

 und diese bezeichnen wir gerade so wie die entsprechende Charakte- 

 ristik. Wir brauchen im folgenden außer den Funktionen B-{w) noch 

 diejenigen Theta zweiter Ordnung, die die Perioden w mit den Funk- 

 tionen ^{w) gemein haben, für die aber die Perioden tt nur halbe 

 Perioden sind. Diese Theta bezeichnen wir mit @{w) oder auch mit 

 @{w — lo'). 



Zu dem Körper K adjungieren wir die Quadratwurzel z aus einer 

 rationalen Funktion, die an vier Stellen von ungerader Ordnung und 

 im übrigen nur von gerader Ordnung Null oder unendlich wird. Den 

 so erhaltenen Körper bezeichnen wir mit K{z). Es seien ^o > 1^. > ^2 > ^3 

 die Stellen, an denen z^ von ungerader Ordnung Null oder unendlich 

 wird und es seien w^,Wj,w^, w^ die Werte der Integrale w für diese 

 vier Stellen. Ist dann ^{w — w) irgendeine der ungeraden Funk- 

 tionen S'(tf), so genügt es, zu setzen 



Cv/ NC/ \o/ ^cv/ ^o.J w^-i-w,-i-iv^-i-w,\ 



^'(w) 



Hierzu vergleiche man: Schottkv, Grelles Journal, Bd. 106 S. 199 f. 



