486 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 1 1. Mai 1905. — Mittlieihing v. 27. April. 



Der Körper K(z) enthält zunächst als Differentiale erster Gattung 

 die drei Differentiale dw des Körpers K. Aui3erdem aber noch andere, 

 die wir so gewählt annehmen können, daß sie nach Multiplikation 

 mit z rational werden. Diese bezeichnen wir mit dv. Stellen wir 



solch ein dv in der Form — dar, so ist dv' ein Differential zweiter 



Gattung aus K, das an den Unendlichkeitsstellen von s wie c un- 

 endlich werden kann und an den Nullstellen zweiter Ordnung von z" 

 von der ersten Ordnung Null werden muß. Das Differential hat also 

 5 Unendlichkeitsstellen und von den 4 + 5 = 9 Nullstellen sind 3 vor- 

 geschrieben. Da K vom Geschlechte 3 ist, so gibt es 6 — 3 + 1^4 

 linear unabhängige Differentiale dv'. Im ganzen haben wir also 3+4 

 = 7 linear unabhängige Differentiale erster Gattung in K{z). 



Zu dem Körper K{z) gehören 4' Thetafunktionen erster Ordnung 

 mit zweiteiliger Charakteristik. Wir bezeichnen sie mit ®{v,w). Als 

 Funktionen der w haben diese Funktionen die Perioden ttüj der Funk- 

 tionen S-(w) zu halben Perioden. Ist daher Q^{v,w) irgendeine der 

 Funktionen @{v,w) und vermehren wir die Argumente 10 um eine 

 Periode ttco, so geht @„, bis auf einen Exponentialfaktor in eine andere 

 der Funktionen @{v,w) über, die wir mit Q^^^ bezeichnen können. 

 Auf diese Weise werden jeder Funktion 0(«, w), den 63 Möglichkeiten 

 entsprechend ttw von o verschieden zu wählen, 63 Funktionen zuge- 

 ordnet. Es werden also alle Funktionen @{v,w) in Gruppen von je 

 64 zusammengefaßt und jede Funktion gehört einer und nur einer 

 Gruppe an. 



Unter diesen Gruppen gibt es solche, in denen immer diejenigen 

 8 Funktionen, deren Indizes sich nur dm-ch ein ui unterscheiden, gleich- 

 zeitig gerade oder ungerade sind. Je 64 solche Funktionen nennen 

 wir verwandt. Es bedeute (7r|w) das Zeichen -f- 1 oder — i, je nach- 

 dem die Charakteristik ttw gerade oder ungerade ist. Dann bilden wir 

 aus einer Gruppe von verwandten Funktionen die über die 8 Charak- 

 teristiken w erstreckten Summen 



M 



Diese Summen haben als Funktionen der w mit den Funktionen &{w) 

 die Eigenschaft gemeinsam, die w zu Perioden und die tt zu halben 

 Perioden zu haben; ja, jede dieser Summen ist gleich einer der Funk- 

 tionen @{w), multipliziert mit einer Funktion der v allein. Diese 

 Funktionen der v, die wir so bekommen, sind Thetafunktionen der 

 vier Größen v mit zweiteiliger Charakteristik, und zwar bekommen 

 wir sie alle. Wir bezeichnen sie mit ©(»). Ehe wir genauer die Art 



