488 Sit/Aing der phys.-matli. Classe v. 11. Mai 1905. — Mittheilung v. 27. April. 



§ 2. 



Jedes Differential erster Gattung du von K{z) läßt sich durch die 

 im § I definierten Differentiale dv und dw darstellen. Es sei also 



du = dv-hdw . 



Jedes du hat 2*7 — 2 = 12 Nullstellen. Wir haben alle die Diffe- 

 rentiale du zu bestimmen , deren Nullstellen paarweise zusammenfallen. 

 Ist dU ein solches Differential, so ist ydUVdU' einer der ungeraden 

 Funktionen Q{v — v',w — w') proportional. In dem Ausdruck für du 

 kann dv nicht Null sein; denn dann wäre du = dw und dw wird an 

 den Nullstellen erster Ordnung von z' mindestens von der ersten Ord- 

 nung Null, sicher aber von ungerader Ordnung. Wohl aber kann dw 

 gleich NuU sein. Wir unterscheiden danach die beiden Fälle: I. dw 

 = o , II. dw=^ o. 



I. du = dv. Es sei S-(iü — iv') die schon in § i benutzte ungerade 

 Thetafunktion. Diese Funktion ist einer Wurzelform in ^proportional. 

 Diese sei VdW. dW wird Null von der zweiten Ordnung an den von 

 w = w' verschiedenen Nullstellen von S-(w — w') und an den einfachen 

 Nullstellen von z^ von der ersten Ordnung, wird also genau so Null 

 wie ]/S•(^o — Wa)^{w — w^)B^{w — w^)^{w — w^). Daher wird die Funktion 



dv VB-{w — Wa)^{w — w,)B-(w — w^)^{w — tCj) 

 dW ( w^ + w^-^w^ + wA 



nur an den Nullstellen von 9-^ ( w ° ' ^ - \ unendlich. Fer- 



V 4 y 



dv 

 ner ist diese Funktion rational in K. Denn ^== wird nach Multi- 



dW 



dv 

 plikation mit z rational und der Faktor von ^^ unterscheidet sich 



dW 



von z nur durch einen rationalen Faktor, wie man gleich sieht, wenn 



man ihn mit dem Ausdruck fär z ((i), S. 485) vergleicht. Daher 



hat die Funktion , da sie nur von gerader Ordnung Null werden soll, 



die DarsteUimg 



^, / Wa-\-w, + w^-y-w,\ 



rCo -H Wx + Wj 



V 4 / 



und daraus folgt, wenn wir eine Wurzelform immer mit einem gToßen 

 Buchstaben bezeichnen und zur Abkürzung setzen 



3- 4/ = tüo + «f I + ^P, -4- W, , 



