H. Jung: Die allgeincMiien Thetafunctiüiion \ün vier Veriiiiderliclieii. 48;) 



1/9- (to — Wo)^(w — io,)9-(m5 — w,)B-(w — Wj) 



wobei dem dV gleich ein passender Index gegeben ist. Wir erhallen 

 so, da TTCii irgendeine der 64 Charakteristiken bedeuten kann, 64 Wur- 

 zelformen. Da der Quotient je zweier dieser Formen gleich dem Quo- 

 tienten zweier der Funktionen S-(w) ist und dieser Quotient slcji nach 

 dem am Schluß von § i angeführten Satze von dem Quotienten zweier 

 verwandten Funktionen 0(ü,^ü) und durch einen rationalen Faktor unter- 

 scheiden kann, so sind die 64 Wurzelformen 64 verwandten ungeraden 

 Funktionen @(v,to) proportional, also den ungeraden Funktionen der 

 Gruppe o. Wir können daher setzen 



lö. ©„,„(« — «;', w — w') = e,„,,JE:^„Jio — l)^„^{w'—l) , 



wo die e Konstanten sind, imd wo E einen transzendenten Faktor 

 bedeutet, der nie iniendlich wird, und nur Null, wenn die obere und 

 untere Grenze der Argumente in K{z) zusammenfallen. 



Wir bestimmen nun die geraden Funktionen der Gruppe o. Dabei 

 betrachten wir zunächst die Funktionen nur als Funktionen der oberen 

 Grenze. Es sei ©„^^ eine der ungeraden Funktionen @{v,w) der Gruppe o. 

 Dann ist 



®L. {v,w) = konst. ^' ^l^ {w — l) . 



Setzen wir nun, wenn oc , ß , j die Ziffern 1,2,3 bedeuten, 



44„ = — 4-lßy = M'o -•- MJ„ — Wji — 'lOy = 4.1 — 2Wß — 2W^^ = 2li\ + 2^D„ — ä^l , 



SO ist 



B-{w — Wo) 3- (wj — w„) B-l {w — w'-h 4 J 

 ^'(w — w')^l,(w — l) 



eine rationale Funktion. Daher können wir schreiben 



6. &o„Jv,w) = E ^ ^, ' \, -^i-w — w-i-ljYR, 



S-(M5 W ) 



wo R eine rationale Funktion ist. ]/R ist sicher nicht rational. Da 

 aber das Quadrat von YR rational ist und da, wie aus (6) folgt, ]/R 

 sich überall rational verhält, so gibt es zwei Funktionen 0^(w,w), 

 0„ {v ,w) , so daß 



rational ist. Da es ferner zu den drei P'unktionen ©„„^ , 0^^ , 0, eine 

 vierte ©o^»,>.„ gibt, so dnß 



