H. Jung: Die allgemeinen Tlietafiinctioneii von vier Vei-änderliehen. 491 



also eine Zerlegung der Funktion z' in das Produkt zweier in K 

 rationalen Funktionen, die nur unendlich werden, wo z' unendlich 

 wird. Das ist aber im allgemeinen nicht möglich. Da nun z'dt^ 

 rational ist, so muß zdt rational werden durch Multiplikation mit 

 einer Wurzelform zweiter Ordnung aus K. Jede dieser Wurzelformen 

 gehört zu einer bestimmten von o A^erschiedenen Charakteristik. Wir 

 nehmen an, daß zdt rational wird durch Multiplikation mit einer zur 

 Charakteristik w, gehörenden Wurzelform. Es seien mit dW diejenigen 

 Difierentiale erster Gattung aus K bezeichnet, die nur von gerader 

 Ordnung Null werden. Dann ist jede der Wurzelformen VdW einer 

 ungeraden Funktion S-(to — w') proportional. Wir geben ihr den Index 

 dieser Thetafunktion. Es entsprechen nicht allen 64 Indizes Wurzel- 

 formen, sondern nur den 28 ungeraden. 



Ist a, ein ungerader Index und" ebenso aw, , so ist VdW^dW^^ 

 eine Wurzelform zweiten Grades der Charakteristik w^. Solche Indizes 06 

 gibt es 6, nämlich: 



9. '^i'^:^, '^i'^Z^ ■^j'^z'^S? ''^i'^:i^z-' ''^^''^3^-ir ^^''^i'^z i 



die wir auch einfach mit 1,2,3,4,5,6 bezeichnen. Wir setzen 



_VdWJW^, 



dw 



wo dw irgendein Dift'erential erster Gattung aus K ist. Von den 

 6 Größen i^„ sind nur 2 linear unabhängig und der Quotient zweier 

 ist rational. Es wird zdt rational durch Multiplikation mit irgend- 

 einem der ^. 



Aus der Gleichung (8) folgt 



{do -+■ dt) {dv — df) = dw" . 



Wir setzen 



11. dv -t- dt = da , do — dt ^= db . 



Es sei ^ irgendeines der <^„. Es sind dann zda und zdb Difi"e- 

 rentiale im Körper E{^) und da und db unterscheiden sich nur durch 

 das Vorzeichen A^on ^. Wir nennen sie daher konjugiert. Sie werden 

 Null an den Nullstellen von dw. Nun entsprechen jeder Stelle in K 

 zwei durch das Vorzeichen von ^ unterschiedene — wir nennen sie 

 konjugierte — Stellen in K{^). Da da und db konjugiert sind, so 

 wird db an den konjugierten Nullstellen von da Null. Die Nullstellen 

 von dw sind erstens die einfachen Nidlstellen ^^ , ^, , ^^ , ^3 von 2" und 

 dann die 4 Nullstellen, die dw in K hat. Sind da und db bestimmt, 

 dann ist die gesuchte Wurzelform 



,, VdadzVdb 



12. ydo-i-dw^ ~ — . 



V2 



