H.Juno: Die allgemeinen Thetafiinctionen von vier Veränderlichen. 493 



Theta erster Ordnung von K innerhalb K an 3 , also innerhalb A''(^) an 

 6 Stellen verschwindet, so verschwindet S-(^ — a) an 10 — 6 = 4 Stellen. 

 Die Funktion ^{t-\-a) verschwindet dann, da — t der konjugierte Wert 

 von t ist, an den 4 konjugierten Stellen. Nun ist, wenn die b auch 

 Konstanten sind, 



S^{i( — a)&(jt-l-a) 



eine rationale Funktion in K{^) und da sie mit ihrer konjugierten 

 übereinstimmt, gleich einer rationalen Funktion aus K. Diese in K 

 rationale Funktion hat in Ä'vier Unendlichkeitsstellen, und da die beiden 

 Konstanten b willkürlich gewählt werden können und man außerdem 

 zu der Funktion noch eine willkürliche Konstante hinzufügen kann, 

 so gibt es zweifach unendlich viele Funktionen mit denselben vier Un- 

 endlichkeitsstellen. Daraus folgt, daß diese Unendlichkeitsstellen, also 

 die Nullstellen von S-(/ — a)S-(/-+-ß), die Nullstellen eines Differentials 

 dw erster Gattung aus /iT sein müssen. Folglich wird S-(< — d) bei be- 

 liebigen a an vier Stellen Null, die mit ihren konjugierten zusammen 

 die NuUstellen eines Difierentials erster Gattung aus K bilden. Um- 

 gekehrt: Ist dw ein beliebiges Differential erster Gattung aus K, so 

 kann man die beiden Konstanten a so bestimmen, daß zwei der Null- 

 stellen von S-(^ — a) mit zweien der Nullstellen von dio zusammenfallen. 

 Dann müssen aber die beiden anderen Nullstellen auch Nullstellen von 

 dw sein, da dw durch zwei seiner Nullstellen bis auf einen konstanten 

 Faktor bestimmt ist. 



Über die Nullstellen von S-(^ — a) gilt noch der Satz, daß sie 

 niclit die einzigen Nullstellen einer in K{^) rationalen Funktion bilden 

 können.' 



Wir betrachten noch speziell den Fall, wo die a gleich Null sind, 

 also die Funktion ^{t). Sie wird an vier Stellen Null, und da sie von 

 ihrer konjugierten S-{ — t) höchstens durch das Vorzeichen verschieden 

 ist, so wird sie auch an den konjugierten Null. Das ist aber, da eine 

 Stelle mit ihrer konjugierten nie zusammenfallen kann, nur möglich, 

 wenn die vier Nullstellen von S-(<) paarweise zusammenfallen. Also 

 wird S-(^) an den Nullstellen einer Wurzelform aus K Null, oder die 

 16 Funktionen S-(/) sind 16 der Funktionen VdW proportional. Nun 

 kann S-(<) nicht an den Stellen Null werden, wo eine der 12 Funktionen 

 VdW„, VdW^^^ (oi = 1 , 2, ••■• 6) Null wird, weil es dann eine rationale 

 Funktion gäbe, die nur an den Nullstellen von S-(0 Null würde, näm- 



/dW„,., 



lieh eine der Größen 1/ "^ oder 1/ 



' WiRTiNGER, Untersuchungen über Thetafunktionen, § 42 und 43. 



