H. Jung: Die allgeineiiion Thetafurictionen von vier Veränclerlichen. 49o 



Aber os ist 



eine rationale Funktion in K{^). Also muß entweder ah = a/i oder 

 ab = aßw, sein. Da aber a, durch aw, ersetzt werden kann, so können 

 wir annehmen, ab = aß. Die Indizes « und /3 sind aus der Reihe (9) 

 und a und h aus der Reihe (14) zu wählen. Daraus folgt a ^ u, 

 b = /3. Wir können daher, wenn a einen ungeraden Index bedeutet, 

 setzen 



^^{t—t) = k,g(t) \VdW,^dW',„^^.^ -4- 6 VdW'„„dW„„^^.\ , 



wo /.•„ eine Konstniite, g eine vom Index a unabliängige Fuid<tioii und 

 £ ein Vorzeichen ist. Wäre nun £ = — i, so könnte ^ nirgends Nvdl 

 werden. Denn es könnte liöchstens an einer den sechs ungeraden 

 Funktionen ^^{t — t') gemeinsamen Nullstelle verschwinden, also höch- 

 stens für ^ = »i; dafür verschwindet aber, wenn e = — i ist, schon der 

 Faktor von g. Ebensowenig könnte g unendlich werden. Es würde 

 dann ^a{t—t') die vier Nullstellen von Vd W^^^ d W'„^^ — Vd W',^^ d W"„„^,,^ 

 zu Nullstellen haben. Nun gibt es aber in K{^) eine rationale Funk- 

 tion, die an denselben vier Stellen und nur an diesen Null wird, nämlich 



VdwZßyK^^—Vdw^^^JWZ^^ 



VdW^^dWl^^ -+- V'dWl^ßWZ^^ ' 



Das darf aber, wie wir in § 3 angegeben haben, nicht möglich sein. 

 Es ist daher e := -j- i und 



^,{t — t') = k„g{t)\VdW^„^dWi^^^-t-VdWi^dW,^^^^\ . 



g wird an der Stelle v\ Null und an der konjugierten -/j' unendlich. 

 Gehen wir zur konjugierten Gleichung über, so bekommen wir 



^,{t-ht') = Kg (— t) \Vd W,„ßWi^^^ — VdW'^„^ <^W;„^.J ; 



g{ — /) wird an der Stelle •/)' Null und an der konjugierten v\ unendlich. 

 Setzen wir 



so ist cp{^,vi) eine Funktion, die nur an der Stelle yj Null und nur 

 an der konjugierten jj' unendlich wird. Die Funktion ^ (^ , vj') wird 

 umgekehrt an der Stelle yf Null und an der Stelle >] unendlich und es ist 



17. </>(|,v)).<;,(^.>l') = i. 



