II. .FuNr, : Dil! allf^Piiieinen TlictafniictioiK'ti von vier \>i'äii(lerlic.h('ii. 49/ 



Zunächst sind da und db in K{^) konjugiert, dann sind sie Difl'eren- 



tiale erster Gattung, weil für die Unendlichkeitsstellen von A und B 



und für die Nullstellen von ^^At + K) uml ^.At—\) die gleicli Null 



wird. Ferner ist dadb = dio'. Es bleibt noch übrig zu zeigen, daß 



da , db , , ^ . ,. 1 /, 



-:- und z-^- rational suid. Lassen wir die obere brenzc einen ge- 

 dw dw 



schlossenen Weg durchlaufen , so ändern sich die t um Perioden. Da- 



da -, db /-, .. n 



bei bleiben aber z—- und ^ , zufolge der Werte der brouen A un- 

 dw dw 



geändert. Sollte der geschlossene Weg einen oder mehrere der Null- 

 stellen ^„ von z einscldießen, so bleiben die Funktionen doch unge- 

 ändert, da sie an diesen Stellen so Null werden wie z\ 



Durchläuft schließlich die obere Grenze den Weg y, so ändern 



da ^ db IT-., 1 



sich die Funktionen z-y- und z- um den Faktor +i oder — i, je 

 dw dw 



nachdem die Anzahl der in A enthaltenen Faktoren (p(^,^!,) gerade 



oder ungerade ist. Diese Anzahl muß also gerade sein, d. h. für den 



Index n sind nur die Werte oo, oi , 02 , 03 zulässig. Aber dann sind 



z — und z—- auch rational, da sie bei allen geschlossenen Wegen 

 dw dw 



ungeändert bleiben. Es sei noch dW das schon früher benutzte 



Differential erster Gattung, und es seien die |u. so bestimmt, daß 



S-„(^-t-^)S-„(i; — lA an den Nullstellen von (fV\^ verschwindet. Dann ist 



dw„„.. _ ^.. (K -*- i) K. iK — t) 

 dW ~ ^At-^t^)^a(t—t^) 

 und 



dW 



dW 



db,.^. = B,KAK — t) TT-, TT^^ r • 



^ait-^ lA^a{t—lA 



Als Wurzelformell haben wir nun zu nehmen 



Vda±Vdb 



oder, da wir einen gemeinsamen Faktor fortlassen können, 



) U„^. = VK^.. {K + + )''^&.. [K — t), 

 \ t^,..., = VA'n'^.AK -«- — VK^^AK — t) , 

 wo wir gleich passende Indizes hinzugefügt haben. 



Sitzungsberichte 1905. 50 



