H. JuN(;: Die allgemeinen 'l'iietafnnctioiieii von vier \'eränclerlichen. 501 



da (~,ai,) eine ungerade, -,w und -w, aber gerade Charakteristiken 

 bedeuten, so folgt 



II o. ©.__.,_ (w — w) 0.,_,„_^ {v — V) = ± e,„^. E,'^ {w\w)\ U,„^.,. Ui„.^ — [/„„,.„.,_ U'^„.,^^\ 



In diese Gleichungen liaben wir die Werte der U aus 11', § 5 

 (S. 497) einzufüliren. Die Formeln werden einfacher, wenn wir außer 

 den Funktionen ^(t) von zwei Veränderlichen noch diejenigen Funk- 

 tionen zweier Veränderlichen einführen , die die Perioden w mit den 

 3-(/) gemein liaben, für die aber die Perioden tt nur halbe Perioden 

 sind. Diese P'unktionen bezeichnen wir mit 0(/). Sie stehen zu den 

 Funktionen 3-(<) in demselben Verhältnis wie die Funktionen @{ic) zu 

 den Funktionen 3-(?r). Nun bestehen für beliebige Argumente die 

 Gleichungen 



Benutzen wir diese Gleichungen, so folgt aus II« und Ili 

 IIw. (:)^^^„.,.^{w — w')@^,^^,^^{v — v') = 



± 4C,.'ii.0..(^+ <') I VA,„Bi@Jf—t'-h2XJ + VX'^BZeAt' — i-i-2Kj 

 11/'- &^rr:^{w — w')@„^,.^„„Jv — v') = 



± ^e^^^.E, Q„Af— t') \ KI^XT©. (< + 1'-\- 2 A„J + VbZK.<^K {t-hf— 2Ä„J 

 Denken wir uns in IIa tt' durch einen andern Index tt" ersetzt 

 und die so erhaltene Gleichung durcli II« dividiert, so folgt 



Die linke Seite ist hier ganz unabhängig von z, also muß es 

 aucli die rechte sein. Das ist nun tatsächlich der Fall; aber das 

 kommt nur daher, daß wir die Konstanten e, deren Indizes sich nur 

 durch ein w unterscheiden, als gleich angenommen haben; denn nur 

 dann können wir die Gleichungen (27) anwenden. Ersetzen wir in 

 (28) ~ durch -tt'tt" und multiplizieren die neue Gleichung mit (28), 

 so folgt 



_ el„„.. l_ 



el„„. ' °"" ""'''' 



Aus (28) schließen wir also, indem wir 7r':= tt und -":= -„ an- 

 nehmen, 



29. 



0„j„„^ {w — w') &„^^^ {w — w') ' 



