H. Jung: Die allgeineiiieii Thetafuiictioiien von vier Veränderlichen. 50H 



§8. 



Die im vorhergehenden dargestellten Thctafunktionen hängen von 

 lO Parametern ah, nämlich von den drei Parametern des Körpers K 

 vom Gesehlechte 3 und von den vier Nullstellen ^o > ^i i ^2 > ^3 von 2^. 

 Sie sind also von der größten Allgemeinheit. Die Argumente sind 

 zwar nicht frei veränderlich , aber davon kann man sich mit Hilfe 

 des Addition.stheorems frei machen. 



VjS möge zum Schluß noch die Bedingung aufgestellt werden, 

 der die 10 Parameter genügen müssen, damit der RiEMANNsche Fall 

 eintritt. Es seien tt, , tt^ und tTj drei zu je zweien syzygetische 

 Perioden und es bedeute ir^ die Periode o. Es bezeichne ferner tt 

 irgendeine der 8 Perioden, die sich aus den tt,- zusammensetzen 

 lassen. Dann gibt es unter den Thetafunktionen von vier Veränder- 

 lichen drei, etwa 0, , 0, , ©, von der Art, daß die 24 Funktionen 

 0^, , 0„j , 0^3 von einander verschieden und alle gerade sind. Be- 

 zeichnen wir den Nullwert von 0„„ mit c^„ und das über die 8 Pe- 

 rioden TT erstreckte Produkt |^ (■^„ mit r„ , so ist die Bedingung für 



den RiEMAisNschen Fall in der Form darstellbar' 



34- 



]/i\±Vr,±]/r, = o 



Nun sind aber die 24 geraden Funktionen der Gru])pe o gerade solche 

 Funktionen, wie sie zu diesem Satze gebraucht werden. Wir können 

 unter den Größen c„„ direkt die Größen c^„ in der Gleichung Ic auf 

 Seite 499 verstehen. Setzen wir die Werte in die Gleichung (34) ein, 

 so bekommen wir als Bedingung für das Eintreten des RiEMANNSchen 

 Falles 



35. :^(w,—lv,):^{w._—w;)y'Yi®'r^2L)-^■^{w^—w,)^(w^—w,)^/Yl®J^L) 



wo die Produkte über die 8 Perioden tt zu erstrecken sind. 



' ScHOTiKY, Grelles Journal Bd. 102. 



Ausgegeben am 18. Mai. 



