Helmeut: Gi'iiauiirkcit der Kriterien des Zufalls bei Beübachtiirigsreihen. 601 



einer anderen Variablen a])häng'en, so ordnet man die Beobachtungen 

 nach dieser Variablen. Die entstehende Vorzeichenreihe V,,V^. . .V„ 

 wird dann eventuell Anhäufungen von positiven oder negativen Zei- 

 chen aufweisen. 



Mit / werde die Anzahl der Folgen zweier gleicher Vorzeichen 

 bezeichnet, mit w jetzt die Anzahl der Zeichenwechsel. 



Dann besteht die Gleichung 



/■— w = t; k + V, r^ -+- F3 F, + . . . v„_, v„ 



(26) 



Denn ViVi_^_^ ist +i für eine Folge, — i für einen V^'echsel. 



Der Durchschnittswert von / — w für unendlich viele Fälle ist 

 null, da für jedes Produkt V^V;,^, auf zwei positive Werte (-f-i'-+-i 

 und — I» — i) zwei negative (+ i — i und — i'+i) zu rechnen sind. 



Die mittlere Abweichung des Wertes / — w von null ist die Qua- 

 dratwurzel des Durclischnitts von dem Quadrat des Ausdruckes (26) 

 für unendlich viele Fälle. Dieses Quadrat enthält n — i Quadrate A^on der 

 Form Vi'Vil,,^ und {n — i)(ra — 2) Produkte von der Form FfT^+xV^+j 

 bzw. ViVi_^^V^.V^._^_^ mit /i >/-+-!. Die Quadrate geben zusammen n — i, 

 die Produkte verschwinden. Folglieh ist die mittlere Abweichung 

 dc:Vn — I. Als Ergebnis haben wir daher: 



Unterschied der Zeichenfolgen / und Zeichenwechsel tv \ 



f—iü = null S (27) 



mit dem mittleren Fehler dzyn — i. 



Um zu erkennen, wie bei verschiedenen Werten von 7i sich die 

 möglichen Werte von / — w verteilen, nehmen wir zunächst der Reihe 

 nach w = 2 , 3 und 4. Bei n := 2 gibt es 4 verschiedene Werte von 

 / — w, die sich wie folgt verteilen: 



y. 



f-w 



also f—w 



-I 2 mal 

 -I 2 mal . 



Bei n = 2, findet sich: 



r. 



+1 



— I —I 



f-w 



also f—ir = + 2 2 mal 



» o 4 mal 



— 2 2 mal. 



