88 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 16. März 1Ö22? — Mitt. vom 2. Februar 



Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen 

 Koeffizienten. 



Von Dr. G. Szegö 



in Ijerliii. 



(Vorgelegt von Hrn. Schmidt am 2. Fcliruiir 1922 [s. oben S. 17].) 



In dieser Note soll folgendes Tlioorem bewiesen werden: 



Kme Potenzreihe : 



/(-) = a^-^a^z-\ H o„c" H 



mit nur endlich vielen verschiedenen Koeffizienten stellt entweder eine rationale Funktion 

 dar^ oder sie ist nicht über den Einheitskreis fortsetzhar. 



Im ersten Falle sind die Koeffizienten a„ (von einem geuüssen an) periodisch., also 



.«-> = —?■ 



wobei P{z) ein Polynom bezeichnet^. 



Es sei f{z) regulär in einem Bereiche, dessen Begrenzung von einer 

 Kurve T {^) gebildet wird, die aus folgenden Teilen besteht: 



a) die Kreisbögen: 



I r I = 7? , </), ^ arc ~ ^ </>, , 



I - 1 ^ I — ^ , </)= ^ arc c <(/), + 2 TT ; 



b) die Strecken: 



i—^<\z\<'R, arc c = </>, , 



I— ^^l^^l^-??, arc -=</.,. 



Hier])ei sind 7? > i , o< </), < f/)^ < 2 tt feste Zahlen und <5 > o beliebig klein. 

 Ich werde zeigen, daß dann /'(:) notwendig rational, und zwar von der obigen 

 speziellen Form ist. 



' Vgl. R. Jektzscii, Über Potenzreihen mit endlieh vielen verschiedenen Koeffizienten 

 [Mathematische Annalen 78 (1918) S. 276 — 285]; G. Foi.ya, Über Totenzreihen mit endlich 

 vielen verschiedenen Koeffizienten [Kbenda S. 286—293]; F. Carlson, tlber Potenzreihen mit 

 endlich vielen Aerschiedenen Koeffizienten [Mathematische Annalen 79 (1919) •'^- 237 — 245]- 



