G. SzEGo: \%py Potenzreihen mit endlich vielen versohiedeneii Koeffizienten 89 



Hilfssatz I. Für geniiyend Meine h gibt es (von § itnabhängige) Polynome 



Q''^ r. c„_. I 



die heliehig Mein mid. wenn : at/f T ((5) liegt. 



Es genügt, lediglich ein Polynom von dieser Form anzugeben, welches, 

 absolut genommen, kleiner als i ist. wenn c auf r(Ä) liegt. In der Tat 

 leistet dann eine genügend hohe Potenz desselben das Gewünschte. Man 

 betrachte nun die Kurve r(o) = r, welche aus r (S) für Ä = o hervorgeht. 

 Bestimmt man ein Polynom von der obigen Form, welches absolut kleiner 

 als I bleibt, wenn c auf F liegt, dann läi.it sich ^o> o so klein wählen, daß 

 dasselbe Polynom auf r(i5) für alle ^<^o noch immer die nämliche Eigen- 

 schaft besitze. 



Unsere Aufgabe reduziert sich somit darauf, ein Polynom Q ( — j anzu- 

 geben, welches absolut kleiner als i bleibt, wenn c auf T liegt. Nun be- 

 haupte ich, dals es vollkommen genügt, diese Aufgabe nur für den Teil Jv 

 von r, der auf dem Einheitskreise liegt (der also ein Kreisbogen von der 



Länge < 2- ist), zu lösen. In der Tat sei R\ — ) ein Polynom, welches 



auf A' absolut kleiner bleil)t als i ; dann gilt dasselbe noch in einer genügend 

 kleinen Umgebung der Endpunkte von IC. Die durch diese Umgebung aus- 

 geschlossenen Teile der übrigen Berandung von F liegen aber außerhalb eines 



festen Kreises | c | = jS > i . Ist also etwa A das Maximum von 7? ( — 



während z auf diesem Teile von F liegt, dann genügt es die ganze Zahl p 

 so groß zu wählen, daß 



A 



— < I 



F" 



sei. Dann Iiesitzt 



die verlangte Eigenschaft. 



Q 



(^)=> 



Bezeichnet nun etwa u den Grad von R[ 1 in — , dann ist auf K: 



R - 



:"in' 



und c" A'l — 1 ist ein Polvnom in c mit dem absoluten 



Gliede i, welches auf einem gegebenen Kreisbogen Ä^ des Einheitskreises ab- 

 solut kleiner als i ist. Solche Polynome lassen sich aber bekanntlich auf 

 mehrere einfache Weisen konstruieren. Man vergleiche etwa F. Caulson, 

 Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizenten [Matliematische Zeitschrift 9 

 (192 i) S. I — 13] S. 6. Damit ist Ililfssatz I bewiesen. 



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