1)0 Sitzung der phys.-matli. Klasse vom IG. März 1922. — Mitt. vom 2. Februar 



Icli führe nun einen zweiten Hillssatz an, der .sich im wesentlichen hei 

 Hrn. M. RiEsz findet'. 



Hilfssatz II. Bezeichnet V{^) die vorhin dejinierte Kurve und ist eine 

 analytische Funktion /(-), dcre)i PotenzreiJienentwicklung 



f{:) = a^-ha,z-i »- f/„ :" H 



beschränkte Koef/izieidrn besitzt^ regulär im Innern und aufT(h), dann hat man 



wenn z aufT(^) liegt. Hierbei bezeichnet s,^_,(z) den {n — i)-trn Abschnitt der 

 oblge7i Potenzreihe und M ist von z und von n unabhängig. 



Nach die.sen Vorbereitungen beweise icli den oben formulierten Satz 

 folgendermaßen. f]s seien d, , d^, • ■ ■ , d^. die (voneinander verscliiedenen) Werte, 

 deren die Koeffizienten unserer Potenzreihe überhaupt fähig sind. Man be- 

 zeichne mit d die kleinste (positive) Differenz |'/„ — d^\, wobei x, und A von- 

 einander verschieden (x, A=; i, 2, •••,k) sind. Es sei f(z) regulär in r(S). 

 Man bestimme nach Hilfssatz I das Polynom 



derart, daß 



I 



2 TT 



i'('M 



(■) 



dcr< 



2M 



sei, wobei de das Bogenelement von T(^), M die Zahl in Hilfssatz II be- 

 zeichnet. Dann ist nach Cauchy für alle n 



c„ ö„ + c, a„ 



.-,«„.,-,^».., = ^/|^^q(:):'- 





Man hat also 



cjt,.-\-cji„ 



+ ^V-'«" + v- 



M 



27r 



Q 



dis- 



(» = 0.1 



Icli ])etrachte nun sämtliche Koeffizientengruppen 



(«„ , «„+, , • • • , <•'„ + ,/-.) (» = O . 1 . 2 . . . .) ■ 



Da man aus den Werten d^ (k = i , 2 , • ■ -, k), die die Koeffizienten überhaupt 

 annehmen können, nur endlicli viele voneinander verschiedene solche Grup- 



' Sätze über Potenzreifien [Arkiv für Mat. 11 (1916) Xr. 12, S. i — 16] S. 3; Neuer He- 

 wei.s dos l'\T(irsclien Satzes |f!(Ut. Nachr. 1916, S. ()_• — (15I. 



