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Über Ringbereiche im Gebiete der ganzzahligen 

 linearen Substitutionen. 



Von I. Schur. 



IVIaii (lenke sich einen heliel)igen Integritätsbereich 3 gegeben, dessen Elemente 

 nicht notwendig gewöhnliche Zahlgrößen zvi sein brauchen; es kann sich z.' B. 

 auch um rationale Funktionen, Polynome oder Potenzreihen handeln. Unter 

 einem Riny oder liingbereich n-ten Gradex über 3 verstehe ich im folgenden ein 

 System 51t von linearen homogenen Substitutionen in ii Veränderlichen (Matrizen 

 n-ten Grades), das den Bedingungen genügt: 



1 . Die Koeffizienten aller Substitutionen von J1{ gehören dem Bereich 3 an. 



2. Sind A und B zwei gleiche oder verschiedene Substitutionen von ^i, 

 SU sollen auch A + B, A — B und AB in 5R enthalten sein. 



3. Bedeutet E die identische Substitution (die Einheitsmatrix), so soll für 

 jedes Element a von 3 auch die Substitution aE m 9t vorkommen. 



Sind je zwei Substitutionen von 9t miteinander vertauschbar, so heiße 9t 

 ein kommutativer Ringbereich. Die Anzahl /• ^ /«' der (in bezug auf 3) linear 

 unabhängigen unter den Substitutionen von ^\ nenne ich den Bany des Ring- 

 bereiches. Handelt es sich insbesondere um den ahfiolutea Integritätsbereich 

 3 = 3o ' *!• !'• '^im *li6 Gesamtheit der ganzen rationalen Zahlen, so bezeichne 

 ich 91 kurz als einen yanzzahligfn Ringbereich. 



Für jeden Integritätsbereich 3 können Ringe /i-ten Grades über 3 folgender- 

 maßen erhalten werden. Man gehe von einem beliebigen System 51 von endlich 

 oder vuiendlich vielen Matrizen /i-ten Grades aus, deren Koeffizienten sämtlich 

 in 3 entlialten sind. Für jeden Komplex von endlich vielen, nicht notwendig 

 voneinander verschiedenen Elementen A , B , ■ ■■ , K von 51 denke man sich 

 alle endlichen Summen der Form 



li =^^Ca,ji.....^A" B''' ■ ■■ K' (a,ß,--.. = o, 1,2, •■•) 



gebildet, wobei die ^„.ß... „ wieder dem Integritätsbereich 3 angehören sollen. 

 Die Gesamtheit dieser Matrizen R stellt dann einen Ringbereich «-ten Grades 

 über 3 Jar, den durch 31 erzeugten, Ring R = (51). 



Eine Frage, die uns hier vor allem beschäftigen wird, ist die nach der 

 Klusseuuuzu/d eines gegebenen Ringbereiches dl über 3- Auf diesen Begritl" 

 wird man folgendermaßen geführt. Es sei P eine Matrix «-ten Grades mit 



SiUungsber. phys.-raaÜ.. Kl. 1922. 14 



