I4() Sitzuiijj; der phys.-iiiatli. Klasse vom IS. Mai l!l'2'2. — Mitl. vom 2. März 



Koeffizienten aus 3' deren Determinante ^A von Null verschieden sein soll. 

 Bildet man für jedes Element A von di die Matrix PAP ' = A, , so kann es 

 eintreten, daß die Koeffizienten von ,1, für jedes A wieder in 3 enthalten sind. 

 Die A, bilden dann einen mit fll isomorphen Ring n-ten Grades über 3, den 

 wir kurz mit ?H, = P^3iP^' bezeichnen und einen dem Ring 9i ähidichcii Ring 

 nennen wollen. Die Ähnlichkeitstransformation P ist durch 9i, noch nicht ein- 

 deutig bestimmt. Läßt sie sich insbesondere unimodular wählen, d. h. derart, 

 daß ihre Determinante A eine Einheit von 3 (für 3 = 3o ^Iso gleich ± i) wird, 

 so bezeichnen wir JK, als einen mit 5R äquivalenten Ring und deuten dies kurz 

 durch 5R, CO 91 an. Zwei J)l ähnliche Ringe sind oflenbar auch untereinander 

 ähnlich, und dasselbe gilt auch für die Äquivalenz'. Die sämtlichen dem Ring 9t 

 ähnlichen Ringe zerfallen auf diese Weise in wohlbestimmte Klassen einander 

 äquivalenter Ringe, wobei die Anzahl h = h ($R) der Klassen endlich oder un- 

 endlich groß sein kann. Diese Klassen ändern sich oflenbar nicht, wenn man 

 nicht von SR, sondern von irgendeinem dem Ring 9i ähnlichen Ring ?){, aus- 

 geht, insbesondere ist also A (9i) = A{91,)'. 



Legt man der Betrachtung einen Integritätsbereich 3 zugrunde, der zugleicli 

 ein Rationalitätsbereich (Körper) ist, so wird stets Ji, (9i) = i . In jedem anderen 

 Fall führt die Entscheidung der Frage, ob hi^X) für einen gegebenen Ring- 

 Ijereich 5R über 3 endlich ist oder nicht, im allgemeinen auf ein schwieriges 

 Problem. In der Literatur sind nur einige wenige Fälle erledigt worden. Ein 

 Fall, der mit der Theorie der algebraischen Zahlkörper in engem Zusammen- 

 hang steht, wird im folgenden eine wichtige Rolle spielen (§ 3). Von ganz 

 anderer Art ist ein Satz, den zuerst Hr. L. Bieberbach^ bewiesen hat: Ist iS 

 eine endliche Gruppe linearer homogener Substitutionen mit ganzen rationalen 

 Koeffizienten und legt man der Betrachtung den absoluten Integritätsbereich 

 3ü zugrunde, so ist die Klassenanzahl des durch § erzeugten Ringes endlich. 

 Der Beweis gelingt hier sehr einfach mit Hilfe eines Avichtigen Satzes von 

 (J. Jordan über gewisse reduzierte positiv definite quadratische Formen, der 

 auch in der MiNKOWSKischen Reduktionstheorie seine Gültigkeit behält. Dieses 

 wichtige formentheoretische Hilfsmittel gestattet auch, wie an einer anderen 

 Stelle gezeigt werden soll, noch einen etwas allgemeineren Fall zu erledigen. 

 Es versagt aber überall da, wo es sich um Ringbereiche handelt, die nicht 

 durch Substitutionen erzeugt werden können, welche eine positiv definite 

 (quadratische oder HERMixEsche Form ungeändert lassen. 



' Hierbei ist folgendes zu beachten. Setzen wir für zwei ÄLnlichlceitstransforoKitionen 

 P und Q 



% = pmp-' = Q^Q-\ 



so soll das bedeuten, daß PAP ' ^ QAQ — ' für jedes Element ..A von SR wird. Die gegen- 

 seitige Zuordnung der Elemente A und Ai in den beiden isomor])hen Ringen 9t und SR, soll also 

 unabhängig von der Wahl von P festgelegt sein. Hieraus folgt dann auch ein wohlbestimmter 

 lsomor()hisnius zwischen je zwei dem Ring Dt ähnlichen Ringen. 



^ Die hier eingeführte Klasseneinteilung kann auch für jedes beliebige System 91 von 

 Matrizen mit Koeffizienten aus 3 definiert werden. Die Anzahl der Klassen ändert sich aber 

 nicht, wenn man an Stelle von 91 den durch 91 erzeugten Ringbereich Dl treten läßt. 



' über die Bewegungxyi-uppeu des n-dime>isionalen eucUdischen Raumes mit einem endlichen 

 t'undanieiäalbereich, Göttinger Nachrichten 19 10. 



