Schur: Über RingbeieioLe im Gebiete der ganzzahligeii linearen Substitutionen 147 



In der vorliegenden Arbeit werde ich mich zumeist auf den Fall des ab- 

 soluten Integritcätsbereiches 3., , also auf ganzzahlige Ringbereiche beschränken. 

 Zu jedem solclien. Ringbereich 9i gehört eine wiclitige charakteristische Zahl, 

 die Grundzahl oder Diskriminante i) von dl, deren Bedeutung für andere Frage- 

 stellungen schon Dedekinu und Molien anerkannt haben. Icli werde zeigen, 

 daß für die Endlichkeit der Klassenanzahl von $R das Nichtverschwinden von D 

 eine notwendige Bedingung ist. Unter gewissen weiteren Annahmen über $R 

 wird sich diese Bedingung auch als hinreichend erweisen. Dies gilt insbe- 

 sondere für den Fall, daß ;){ ein kommutativer Ringbereich ist. 



Einigte einfache Eig*enschaften der g>anzzahlig>en Ring-bereiche. 



Versteht man unter &> die Gesamtheit aller Matrizen u-ien Grades mit 

 ganzen rationalen Koeffizienten, so erscheint jeder ganzzahlige Ring y^-ten Grades 

 91 als ein Teilring von ®. Ist nun /t„^ die Matrix, die in der a-ten Zeile und 

 /3-ten Kolonne das Element i, sonst lauter Nullen enthält, so läßt sich ® als 

 ein /i^-gliedriger Modul mit der Basis 



E^j , E,2 j ■ ■ ■ ) E„^ 



auffassen. Bedeutet /■ den Rang von 9t (vgl. Einleitung), so muß JH als Teil- 

 modul dieses Moduls % nach einem bekannten Satze von Dedekind eine Basis 

 von /• Elementen besitzen, d. h. es lassen sich in 9t linear tmabhängige /'Matrizen 



(I.) A,, A,, ■ ■ ■ ,A, 



angeben, so daß jedes Element A von 5)t auf eine und nur Weise in der Form 



A = .)■, A, -+- .(■, .4^ + • • • + .tv A, 



<larstellbar wird. Hierbei bedeuten die j:^ ganze rationale Zahlen. Die Basis (i .) 

 ist bis auf unimodulare ganzzahlige Transformationen eindeutig bestimmt. 

 Da nun die Produkte A^A^^ wieder In ÜR vorkommen sollen, so wird 



' ^^^ß = %<^yaliAy (a,ß=.,2,...,r) 



mit ganzen rationalen r' Koeffizienten «^„^ , zwischen denen in bekannter Weise 

 die Relationen 



r r 



bestehen'. Die mit Hilfe der ganzen rationalen Zahlen 



'^«li = 2', "i'.;i "-,-- = ^', «.«. «.3e — '^^" 



' Vgl. G. Frubeniu.s, T/icon'i- i/ir liijiiiikdiiqihxin Grüßen, .Sil/uiig.sberi(.-lite ilor Berliner 

 Akademie 1903, S. 504 — 537. 



