1 In Sit/.img der pliyN.-nialli. Kliissi- V(.rii 18. Mai Iffi'i. - Mitt. vom -i. Mär/ 



gebildete quadratische Form 



nenne ich die zur Basis (i.) gehörende Grundform des Ringes ;1{ und ilirc 

 Determinante D = | d„ ; | die Grundzahl oder Diskriminante von 9{. Ist i-* von 

 Null verschieden, so bestimmen die A^ in der von Frobenius eingeführten 

 Terminologie ein DEnEKiNDSches System hyperkomi)lexer (xrößen. 



Geht man von der Basis (i.) mit Hilfe einer unimodularen ganzzaJdigen 

 'rransformation « 



zu der Basis A\ , A[.--, .1' über, so tritt an Stelle von '/„ . die Zahl 



'/,' ,; = > ' II U ^ d . 



Die Grundform / geht hierbei in eine ihr unimodular ä(iuivalente Fnrm /' 

 von derselben Determinante D über. Zu jedem ganzzahligen Ring !'1{ geliört 

 demnach eine von der Wahl der Basis unabhängige Grundzahl 1) und eine 

 wohlbestimmte Klasse äcjuivalenter quadratischer P'ornien / mit der Deter- 

 minante D. 



Ist % ein mit 5R isomorpher ganzzahliger Ringbereich beliebigen Griides, 

 und entspricht hierbei dem Element A^ von 5)i in ® das Element B^ , so bilden 

 auch die B^ eine Basis von %. Die Konstanten a^„g und also auch die rf„^ 

 bleiben beim Übergang von den A^ zu den B ungeändert. Dies gilt insbe- 

 sondere für den Fall, daß ® =i P9tP~' ein 9? ähnlicher Ring ist. Die Grund- 

 zahl D ist also, wie wir sagen können, eine AhnUcJikeitsinrariarde. 



Klasseninvarianten, d. h. Größen, die für alle mit 9t äquivalenten ganz- 

 zahligen Ringbereiche denselben Wert haben, sind insbesondere die größten 

 gemeinsamen Teiler t {A) der n' Koeffizienten der einzelnen Substitutionen A 

 von 91'. Unter diesen Teilern sind gewisse von besonderer Wiclitigkeit. 



Bilden nämlich die A, wieder eine Basis von 9{ , so betrachte man die 

 Gesamtheit der ganzzahligen Matrizen^*, die von den A^ linear abhängen, 

 d. h. in der Form 



A* = y, A, +.?/, .1, H H v/,.A, 



mit ganzen oder gebrochenen Koefllzienten //, darstellbar sind. Diese A* bilden 

 wieder einen Ringbereich W vom Range r, der 9{ als Teilring enthält und von 

 der Wahl der Basis (i.) offenbar unabhängig ist. Ist 9i* = 9{ , so möge 9t ein 

 Vollriny heißen ; sonst nenne ich 9t* den zu 91 yehörenden Vollriny. Stellen nun 

 die Matrizen A* , A* , ■ • • , A* eine Basis von 9t* dar, so wird 



A, = ^<\.K (p=.,2......) 



mit ganzen rationalen Koeffizienten r^,. Nach dem Ilauptsntz der Theorie 



' Genauer lassen sich auch die übrigen Elenientui'teilei' der Matrix .1 als ivhisscninva- 

 rianten auClassen. Doch wii'd hiervon im tbiuenden kein Gebrauch ■^eniaclit worden. 



