Suhir: Über Riiigbereiche im Gebiete der ganzzahligcn lineaien Substitutionen 1 4'l 



der Elementarteilcr kann ni;iii die Basiselemente A. und A* durch andei'e B, 

 und B* derart ersetzen, daß 



wird, wobei 



positive ganze Zalilen sind, von denen jede dureh die vorhergehende teilbar 

 Ist. Diese Zahlen, die außerdem von der Wahl der Ausgangsbasen A^ imd A* 

 iniabhängig, also allein diu-ch 9? bestimmt sind, nenne ich die Elemf'ntarteiler 

 des Binges 5H. 



Ein Vollring ist dadurch charakterisiert, daß seine Elenientarteiler sämt- 

 lich gleich I sind. Allgemein ist oflenbar e^ = t{B^), und ist für irgendein 

 Element A von 9t 



A = a\ B, + .r, ß, H h x, B, , 



so wird der zu A gehörende Teiler f,{A) nichts anderes als der größte gemein- 

 same Teiler der Zahlen a\ (\ , .r^ i^j , • • • , x,. i%. . 



Geht man vermittels einer unimodularen gänzzahligen Transformation U 

 von 9t zu dem ä(|uivalenten Ring © = Uy{U~' über, so sind auch die zu- 

 gehörigen Vollringe 9t* imd ©* äijuivalente Ringe, und zwar wird wieder 

 *S* = f'^9t*C^~'. Weiß man dagegen nur, daß 9i und O ähnliclie Ringbereiche 

 sind, so brauchen 9t* und©* keineswegs einander ähidich zu sein. Setzt man z. B. 



so wird B =-. PAP ' . Die durch A und B erzeugten Ringe 9t und © = P9tP~ ' 

 sind also als ähnliche Ringe zu bezeichnen. Hierbei ist 9t ein Vollring, der 

 zu ® gehörende Vollring ©* wird dagegen durch 



r=( ■ 1= 'k-^ ' b ' • 



erzeugt; er ist also von © verschieden und dem Ring 9t* := 9t nicht ähnlich. 



Zwei Sätze über die Klassenaiizahl eines g'anzzahlig'en 

 Riiig-bereiches. 



I. Es sei 9t ein ganzzahlige?- Ring des Grades n. Danti und nur dann ist. 

 <lie Klussemnizald h ron 9t endlich^ wenn sich eine feste Schranke M > o angeben 

 /i'ißtj so daß jeder dem Ring 9t ähnliche Ring © mit Hilfe einer gänzzahligen 

 Ahnlichkeitstransforniution P j deren Detcrndnante \P\ dem absoluten Betrage nach 

 höchstens gleich M istj auf die Forin (S = P9tP' ' gebracht werden kann. 



Ist nämlich, diese Bedingung erfüllt, so bestimme man, was bekanntlich 

 für jede gaiizzaidigc Matrix P stets möglich ist, eine uiiimodulare ganzzaldige 



