150 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 18. Mai 1922. — Mitt. vom 2. März 



Matrix U derart, daß 



(2.) q^up 



und außerdem 



(3-) <',.„ > o , ab.s. r;„,5 < — rg,; (« < (3) 



wird. Ist nun ahs \ P\'^ M , so wird 



(4-) ''■■. , C.^^^ ■ ■ i'„„,^M. 



Es gibt aber nur endlicli viele ganzzahlige Matrizen der Form (2.), die den 

 Bedingungen (3.) und (4.) geniigen. Unter diesen bestimme man diejenigen 

 Matrizen 



(5-) Q,,Q.,--,Q,, 



für welche die Ringbereiche 9{„ = Q«SRQ^^' nur ganzzahlige Matrizen enthalten. 

 Für den gegebenen zu 9} ähnliclien Ring "B muß nun Q mit einer der Matrizen 

 (5.) übereinstimmen; ist aber Q = Q^ , so wird S == U^'dl,U mit 5R, äqui- 

 valent. Die Klassenanzahl h von 9? ist daher höchstens gleich k: 



Weiß man umgekehrt, daß zu 9i nur endlich viele Klassen äquivalenter 

 Ringe gehören, so wähle mau in jeder Klasse ^„ nach Belieben einen Ring 



(6.) m„ = SMS„-' (a=i,2,...,A). 



Ein 91 ähnlicher Ring © muß dann einem wohlbestimmten unter den Ringen 

 9{„ äquivalent sein, also eine Darstellung der Form 



(7.) ®= U%,U~' ((/ unimodular) 



zulassen. Bezeichnet man nun mit M den größten luiter den absoluten Be- 

 tragen der Determinanten 



so wird für /' = US„ gewiß (£ = P9i P ' mit der Nebenbedingung ab.s. 

 \P\<M 



II. Die Klassrndiizahl h ri/icf: gaiizza/irK/cji Riiigcx 9i ist dann und mir dann 

 oidUch, wenn der zv 9i grliörrndr VnJIriiKj 9{* ('liw fiidUehc K/assf/irincti/il h* 

 hpsdst\ 



Beim Beweis ist zu beachten, daß jede mit 9{, d. li. mit allen Matrizen 

 von 9? vertausclibare Matrix auch mit allen Elementen von 9i* vertauschbar 

 ist. Dies folgt unmittelbar aus der Definition von 9i*. Ist daher für zwei 

 Ähnlichkeitstransformationen P und Q 



P'MP-' = QmQ-- , 



so ist auch 



Die Zahlen /( 1111(1 />* haVxMi aber keino.sw c,ns iiiiincr (lonselbcn Wort. 



