Schur: Über Kingbereiche im Gebiete der ganzzahligen linearen Substitutionen 1 f) I 



Ks sei mm zmiächst l)ekaiint., daß h eine endliche Zahl ist. Man wähle 

 dann wie vorhin h Repräsentanten (6.) der zu $R gehörenden h Klassen. Ist 

 min 'S' ein dem Vollring $){* äiinlicher Ring mid ist hierbei ©' = T^RT"', 

 so enthält ©= r9ir~' als Teilkomplex von @' nur ganzzahlige Matrizen 

 und erscheint demnach als ein dem Ring 9? ähnlicher Ring. Folglich muß 

 i2 einem der Ringe (6.) äquivalent sein. Geht nun % durch die unimodulare 

 Transformation IJ aus $H„ hervor, so wird 



® = rjR r- ' = C^6'„5H -s'„- ■ v- - . 

 Daher ist auch 



O' = TW T- ' = USM*S- 'U-' . 



Dies zeigt aber, daß h* gleich ist der Anzahl derjenigen unter den Ringen 



s, 91* sr ■ , s, 91* sr ■ , • • • , -s* ^* sr ' , 



die nur ganzzahligc Matrizen enthalten. 



Etwas tieferliegend ist die Behauptung, daß aus der Endlichkeit von h* 

 auch die von h folgt. Der Beweis ergibt sich folgendermaßen: Ist »5 = TdlT~' 

 ein 91 ähnlicher (ganzzahliger) Ring, so bilde man den allein durch (£ (nicht 

 auch durch T) bestimmten Komplex (B' = Td\*T~' . Seine Substitutionen 

 S' = (a„g) sind nicht notwendig ganzzahlig. Bedeutet aber m = f^ den größten 



Elementarteiler von dl , so hat iedes Element R* von 91* die Form — R , wobei 



R in 9? enthalten ist. Hieraus folgt aber, daß auch mS' in © vorkommt 

 und folglich ganzzahlige Koeffizienten hat. Daher lassen sich alle a„ß als 

 rationale Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner m schreiben. 



Man betrachte nun nach dem Vorgange von Hrn. Buknside' die Ge- 

 samtheit 5 der ganzzahligen Matrizen n-ten Grades H, für die HS' bei be- 

 liebiger Wahl von -S" innerhalb ©' wieder ganzzahlige Koeffizienten erhält. 

 In ö gibt es dann ein Element //„ derart, daß alle H die Form GH^ erhalten, 

 wobei G ganzzahlig ist. Da § unter anderem auch m E enthält, so ist die 

 Determinante von H^ ein Teiler von vi" . Außerdem gehört, weil ©' als (multi- 

 plikative) Gruppe aufgefaßt werden kann, für jedes S' auch H„S' zu .^. Folg- 



'"' ""'^ //,.s' = r//„, 



wobei T' ganzzahligc Koeffizienten hat. Daher ist 



%' = H^&H- ' = //, 2'9l* T- '//„-■ 



ein 9{* ähnlicher ganzzahliger Riiigbereich. 



Ist nun A* eine endliche Zahl, so kann eine (allein von 9{' abhängende) 

 Schranke M* so gewählt werden, daß für eine gewisse ganzzahlige Ähnlich- 

 Ueitstransformation Q 



^' = Q9rQ-', abs|Q|<Ji* 



wird. Dann crliält man aber, wenn H„ die zu H„ adjüngierte Matrix bedeutet, 

 & = If^QWQ-' H-' 



' Oll thr; arithwvtirnl iiahnr <>/ thi' nirfficinit.i in fr. group of liniar siihstitiilioiis (Thii-fl l'apei'). 

 l'rocceding of the London ]\Iatli. Society I2I 7 (iqoS), S. 8 — 13. 



