Schur: Über Ringberoichc im (Jebiete der ganzzahligeii linearcri Substitiitiuiien 15H 



Matrix Ä = (a^,) zu, so bilden die A einen mit r isomorphen Ringbereich ^K 

 des Grades n. Wird die Basis a,^ von a durch eine andere Basis ersetzt, so 

 tritt an Stelle von $R ein mit SH ä([ui\'alenter Ring. Für ein mit n äquivalentes 

 Ideal a = ijia von v wird man ferner hierbei, wenn in o' die Basis ßa^ der 

 Betrachtung zugrunde gelegt wird, auf denselben Ringbereich ?ll geführt. 

 Wir können also sagen, daß jeder Idealklasse S des Zahlrings v eine wohl- 

 bestimmte Klasse ^ mit r isomorpher, einander äijuivalenter gauzzahliger Ring- 

 bereiche «-ten Gi-ades entspricht. 



Die zu den verschiedenen Idealklassen (i von v gehörenden Ringbereich- 

 klassen ^ enthalten aber hierbei nur einander ähnliche Ringe. Denn betrachtet 

 man neben dem Ideal (lo.) das »Einheitsideal« (8.) von v, so wird, Avenn 

 die Gleichungen 



gelten und 

 gesetzt wird, 



= %n^:ip,- *- = ^p. 



^<"' = («<;,') , P = ip,.) 



,1 = ia^,) ^ f\V"'P 



Die beiden Ringbereiche ^l„ und ?fi , die zu den Idealen (8.) und (lO.) gehören, 

 stehen also in der Beziehung 9? = P5Ro^^' zueinander. Unsere Betrachtung 

 führt demnach nur auf Ringbereiche, die dem Ring 9i„ ähnlich sind. 



Es sei jetzt dl ein beliebiger mit v isomorpher ganzzahliger Ringbereich 

 des Grades n, wobei der Zahl a von r die Matrix .4 = M(ai) entsprechen möge. 

 Aus M(o)-hM(o) = M(o) folgt dann, daß M(o) die Nullmatrix ist. Setzt 

 man ferner M(i) =z=. F , so wird wegen 



M(i) M{a.) = M{oi) M(i) = 31 (oi) 

 für jedes A von $H 



(II.) FA = AF =^ A . . ' 



Sind nicht alle A gleich der Nullmatrix, was auf Grund des verlangten ein- 

 stufigen Isomorphismus zwischen r und 5R au.szuschließen ist, so muß F von 

 nicht verschwindender Determinante und also wegen F' = F gleicli der Ein- 

 heitsmatrix E sein. Denn nimmt man j /<' [ = o an, so wird wegen (i i.) auch 

 stets I A I = o . In der charakteristischen Determinante 



(/) (x) = I xE — A I = x" ■+- fl, .r'~ ' -<-■■■+ (i„ _ , .(■ + r/„ 



von A wäre dann stets «„ = 0. Aus der CAYLEvschen Relation f/)(jl) = o 

 würde sich durch fortgesetzte Anwendung der Formeln (9.) auch 



(12.) (/) {a.) = :/." -I- r/, a" ~ ' -I- ■ • • + f/„ _ , iz =: o 



ergeben. Wählt man aber, was jedenfalls möglich ist, für a. eine Zahl von v, 

 durch die der Körper P(S-) erzeugt wird, so genügt u einer irrcduziblen 

 Gleichung /?-ten Grndes : eine (Jleichung der Form (i 2.) kaiui daher nicht be- 

 .stehen. 



