154 Sitzung der phys.-matli. Kljisse vfim 18. Mai 1922. — Mi«, vom 2. Mär/. 



P> ist also F= A', und nun schließt man Avieder, daß für jedes .1 = M(u) 

 ans- </)(^'l) = o auch (p{a.) = o folgt; d. h. u ist eine der cliarakteristischen 

 Wurzeln der Matiix M{ci). Ist ferner ,G eine den Körper P (Sf) erzeugende 

 Zahl von V und i.st 



(13.) 711 u =z r'„ + f;, ß-t-c^ß' -\- ■ ■ ■ +c„_^ß"~' 



mit ganzen rationalen Koeffizienten ?» und c.. , so wird auch 



(14.) mÄ = c„E + c,B + c^B''-\ \-o„_^B"~' {H = M(ß)) . 



Man betraclite nun, wenn die Koeffizienten von B mit b^, bezeichnet werden, 

 die n linearen homogenen Gleichungen 



(I5-) ß'^. = ^K,^. ■ 



Diese Gleichungen besitzen, da ß eine charakteristische Wurzel von B ist, 

 gewiß eine Lösung a, , oi^ , • ■ • , a„ , die nicht aus lauter Nullen besteht: offen- 

 bar kann man die u^ auch als Größen des Zahlrings X wählen. Aus (15.) 

 ergibt sich aber in Verbindung mit (13.) und (14.) in bekannter Weise auch 



xd^ =■ ^ a^ , a., . 



X = I 



Da dies nun für jede Zahl a. von r und die zugehörige Matrix .1 = {a^,) gilt, 

 so erkennt man, daß die Gesamtheit a der linearen Verbindungen 



X^ a, -J- X^a.^ -I- • ■ • + a:„ o6„ 



mit ganzen rationalen Koeffizienten .t„ ein Ideal von r darstellt. Da ferner 

 jedes Ringideal n linear unabhängige Größen enthalten muß, so ergibt sich 

 zugleich, daß die a„ linear unabhängig sind und demnach eine Hasis des 

 Ideals bilden. 



Diese Betrachtung zeigt aber, daß man auf dem früher gescliilderten 

 Wege die Gesamtheit aller mit r isomorphen ganzzahligen Ringbereichc ^/-ten 

 Grades erhält. Wir können also folgenden Satz aussprechen: 



III. Fi\r jeden Zuhlrimj x eines algebraischen Zuhlkörpers P (S-) vom Grude n, 

 Inlden die sämtlichen vnt x isomorphen ganzzahligen Ringbereiche n-ten Grades ein 

 System von einander ähnlichen Ringen. Die Anzahl der Klassen einander äquivalenter 

 Ringber eiche, in die dieses System zerfällt, ist genau gleich der Anzahl h, der ver- 

 schiedenen zu X gehörenden Idealklassen (£'. 



Dieser Satz gestattet also die Zahl //, elcnientar-arithmetisch, ohne Be- 

 nutzung der Idealtheorie, zu charakterisieren. Zu beachten ist aber hierbei, 

 daß Ji^ bei uns nicht die von Dkoekind genau untersuchte Anzahl der »regulären« 

 Idealklassen von v bedeutet, d. h. derjenigen Klassen, die auch reguläre Ring- 



' Zu Jcdeni mit t isomorphen gjinz/.ahligen Hing 9{ fle.s Grades n gehört ein wohlbe- 

 stiiumtcr zweiter Ring 9{' derselben Art, der dadurch entsteht, daß man die Matrizen ^1 von 9{ 

 durch die tran.sponierten Matrizen ersetzt. Entsprechen den Ringen 9? und 9{' die Idealklasscn 

 15 und 15'. .so gilt insbe.sondere im Falle v ^ die Gleichung 1515' = I^ — ' , wo T* die durcli das 

 (irundideal t^ von p bestimmte Idealklasse bedeutet. 



