Schur: Über Ringbereiohe im Gebiete der ganzznhligen linearen Substitutionen 15^) 



ideale enthalten. Wir haben vielmehr auch die eventuell vorhandenen »irre- 

 gulären« Idealklassen in Betracht zu ziehen. Es kommt nun noch hinzu: 



in*. Die Anzahl h^ Ist für jeden Zahlring X eine endliche Zahl. 



Dieser Satz, der in der Literatur nirgends ausgesprochen zu sein scheint, 

 läßt sich sehr leicht mit Hilfe des Satzes II des vorigen Paragraphen beweisen. 



Geht man nämlich von dem Zahlring V = o aus, der alle ganzen alge- 

 braischen Zahlen von P (S^) umfaßt, so wird h^ nichts anderes als die Anzahl 

 A der Idealklassen des Körpers, also gewiß eine endliche Zahl. Einer Basis 

 CO, , Wj , • • • , w„ von D entspricht in der früheren Weise ein mit D isomorpher 

 ganzzahliger Ringbereich 5R des Grades h . Dieser Ring ist, wie wir behaupten, 

 ein Vollring. Denn gehört zu <x>„ in 91 die Matrix A^ = (ö[,',) , so bilden offenbar 

 A^, A^, ■ • ■ , A„ eine Basis von 9?. Gäbe es nun eine ganzzahlige Matrix 

 B = (b^,), die sich mit Hilfe der A„ in der Form 



{i6.) B = i/,A,-t-i/^A,-\ \-y„A„ 



darstellen läßt, ohne daß die rationalen Koeffizienten y,. sämtlich ganzzahlig 

 ausfallen, so setze man 



(17.) /3 = y, w , -t- y, CO, + •■■■+- y„ w„ . 



Aus den nach Voraussetzung geltenden Gleichungen 



" " ^ ,\ > 



X ^ r 



folgt in Verbindung mit (16.) und (17.) 



ßiü ^ ^ b yU), . 



Da die b^> ganze rationale Zahlen sein sollen, so würde sich /3 als eine ganze 

 algebraische Zahl ergeben. Eine solche Zahl kann aber nicht eine Darstellung 

 der Form (17.) mit nicht lauter ganzzahligen ?/„ zulassen. 



Betrachtet man ferner innerhalb die Zahlen a des gegebenen Zahlrings l", 

 so liefern die zugehörigen Elemente ^4 von 9t einen mit r isomorphen Ring- 

 bereich 9lo , der ebenso wie 91 vom Range ?i ist. Jetzt erscheint al)er 91 als 

 der zu fR^ gehörende Vollring. Auf Grund des Satzes III ist ferner in den 

 früheren Bezeichnungen 



Da h eine endliche Zahl ist, so gilt nach Satz II da.'^selbc auch für /«, . 



§4- 

 Rediizible und irrediizible Ringbereiche. 



Man denke sich ein beliebiges System ?l von Matrizen ;/-ten Grades ge- 

 geben, deren Koeffizienten den Körper i1 erzeugen. In bezug auf einen Körper K , 

 der n als Teilkörjier enthält, unterscheidet man nach dem Vorgange der 

 HH. LoEWY, BuRNSiDE Und Taber reduzible luid irreduzible, ferner noch voll- 



