lf)(i Sitzung der phys.-niiitli. Klasse vom 18. Mai 192-2. — Mitt. vom 2. März 



ständig und nicht vollständig reduziblc Systeme ?l. Hierbei werden die irre- 

 duziblen Systeme zu den vollständig reduziblen gezählt. Ein in bezug auf K 

 vollständig reduzililes System ist .auch im Körper Z aller Zahlen vollständig 

 reduzibel und umgekehrt'. 



Diese Unterscheidungen ändern sich nicht, Avenn man an Stelle von ?l 

 die durch die Elemente von 51 erzeugte Grujipe oder noch besser den durch 31 

 erzeugten Ringbereich (über il) treten läßt. 



Einer der wichtigsten Sätze der Theorie der linearen Substitutionen, der 

 im wesentlichen auf Wolikn zurückgeht, aber erst von Hrn. Taüer a. a. O. aus- 

 drücklich formuliert worden ist, lautet nun: 



IV. Gegeben sei ei/i. Rinybereich 9{ über einem beliebigen Zuhlkörper 12 . Ist der 

 Rang von 91 gleich r und sind A, , A^ , • ■ ■ , A^ linear unabhängige Elemente von 

 5R^ so sei 



Man setze 



und bezeichne mit D die Determinante dieser /•' Größen. Dann und nur dann ist 

 ?K in bezug auf den Körper Z aller Zahlen vollständig reduzibel^ wenn die Zahl D von 

 Null verschieden ist. 



Daß das Nichtvorschwinden von I) eine hinreichende Bedingung für die 

 vollständige Reduzibilität darstellt, soll hier aufs neue bewiesen werden'"; es 

 wird sich hierbei ein für unsere Untersuchung wichtiges Residtat ergeben. 



Es genügt offenbar zu zeigen: Ist ?f{ in Z reduzibel und bewirkt die Ähn- 

 lichkeitstransformation P die Zerlegung 



so läßt sich, wenn I) nicht verschwindet, eine andere Transformation Q angeben, 

 so daß 



'"'■' v^'ig- = (■"■■ ;,_^^ 



wird. Das ergibt sich aber sehr leicht nach der Methode, die icli im § 3 

 meiner Arbeit Neue Begründung der Theorie der G ruppenchnraktere (Sitzungsbe- 

 richte 1905. S. 406 — 432) für den Fall einer endlichen (iruppe benutzt habe 

 Es sei nämlich eutsprecliend <ler Zerlegung (18.) 



VA, ''/„ 



' Vgl. iti'-besuiKlere H. Tauku. Snr lex i^ruiipi's rrilKcHhlrs de traiisformntions liiieairi's rt 

 homdijhii'K, C'omptes Rendus, Bd. 142 (i(;o6), lS. 948 — 951, und meine Arbeit Rcifrägr zur Tlimrir 

 (Irr Gruppen Jlnearer liomt><ir)irr Stihst/'/i/f/oiie/i. Ti'Jinsaclioiis of the Anier. Math. Soc. (2). Hd. XV ( i 909), 

 ■^•'59 — '75- niüsi-' Arbeit werde icli im folgenden kurz mit B. zitieren. 



- Das Umgekehrte folgt sehr einfach ans dem Satze 1 dei- von Fudhknhs innl mir ge- 

 nicins;im ])idilizierlen Arbeit U/ier die Aquinilni: du- Cnippiii liiii(trrr ^idisfifiilioiirn, Sitznngsberiehle 

 der Herl. Akademie 1906, S. 209 — ^217. 



