Schur: Über Ringbereicbe im Gelsiete der gaiizzahligen linearen Siibslitutioneri 1 fi9 

 SO bpstimmen. daß 



wird. Setzt- man nun \' = {l\^) , so bilden ]', , V^ , ■ ■ , l'„, ein zum Ring 

 J'R'=T''9iy ' gehörendes invariantes System. Dasselbe gilt wegen der be- 

 sonderen Form der F„ auch für X, , X^ , ■■ ■ , X,„ selbst. Dies bedeutet aber 

 nur, daß ^' die Form hat 





Indem man diese Schlußweise mehrfach anwendet, erkennt man die Richtig- 

 keit des zu beweisenden Satzes. 



!5 5- 

 Ein notwendig'es Kriterium für die Endlichkeit der Klassenanzahl. 



VII. Die Klussenanzahl h eines yanzzahliyen Rinyberelches SH hinn nur dann 

 endlich sein, wenn die Diskriminante I) von SH nieJd verschwindet. 



Auf Grund des Satzes IV haben wir nur zu zeigen, daß aus der Endlich- 

 keit \'on h die vollständige Reduzibilität von 9i folgt. Ist nvui 5R im Körper P 

 der rationalen Zahlen irreduzibel, so ist diese Bedingung erfüllt. Sei also 9? in F 

 reduzibel. Unter Berücksichtigung des Satzes VI können wir dann 9t in der 

 Form (2 1.) annehmen, wobei die 9t„^ in P irreduzibel sein sollen. Neben 5H 

 betrachten wir dann den zugehörigen Ring der Form (22.), der hier mit 5H' 

 bezeichnet werden möge. Zu jeder Matrix A' von 9t gehört in 9t mindestens 

 eine Matrix .1 , die in den den 9t^^ entsprechenden Zeilen und Spalten die- 

 selben Größen enthält: wir wollen dies durch A- ,4' andeuten. Stellen nun 

 .1,' , A., , ■ ■ ■ . A's eine Basis von 9t' dar und ist 



,4' = .1-, .1 ,' -\- x, . 1 ,'+••• -h .1;, .11 , 

 so bilde man. wenn A^-^ A^ ist, die in 

 B = .4 — .r,.4, — 3:, 

 Diese Matrix liat jedenfalls die Form 



o 

 o 

 o 



B = 



r o 



o 

 o 



.ß,, B,^ 7^3 •••i?,,,_. OJ 



Man wende nun, wenn a irgendeine positive ganze Zahl ist, auf ^\ die 

 Ähnliclikeitstransformation 



^/t, o o • ■ • ü o ^ 



o (iK^ o • • • o o 



P = o o a' E, ■ ■ ■ o o 



V^ ü o o 



ü «*■ ~ ' E,, 



