1()0 Sitzung der phys.-niatb. Klasse vom 18. Mai 1922. — Mitt. vom 2. März 



an. Dünn wird 9i„ = Pd\P~' ein ganzzahliger Ring, in dem insbesondere dem 

 Element B von 91 eine Matrix B^ derselben Form entspricht, wobei aber an 

 Stelle von B^^ das rechteckige Schema a''~' B^^ tritt. Ist nun B von Null ver- 

 schieden, so wird der größte gemeinsame Teiler 4 <l6r Koeffizienten von B„ 

 eine durcli a teilbare positive ganze Zahl. Dies ist aber bei endlicher Klassen- 

 anzahl /( nicht möglich. Denn in diesem Fall dürfen unter den Zahlen 



nur höchstens h voneinander verschiedene vorkommen (vgl. § i). 



Wenn also h eine endliche Zahl ist, muß B fiir jedes A gleich Null sein. 

 Dannf sind aber 9? und 91' (einstufig) isomorphe Ringbereiche. Als solche be- 

 sitzen sie dieselbe Diskriminante D. Da aber 9V gewiß vollständig reduzibel 

 ist, so muß D von Null verschieden sein. Zugleich ergibt sich, daß 9t dem 

 Ring dl' ähnlich sein muß. 



¥iel schwieriger dürfte die Entscheidung der Frage sein, ob das Nicht- 

 ver.sch winden der Diskriminante eine hinreichende Bedingung für die End- 

 lichkeit der Klassenanzahl ist. Bei dieser Untersuchung kann man sich aber 

 jedenfalls auf in P irreduzible Ringbereiche beschränken. Dies folgt aus dem Satz 



VIII. ht 9t rin yanzzahliyer Ringbereich mit von Kuli verschiedener Diskri- 

 minante, und ist für jeden In hezug auf P irreduzihlen Bestandteil 9{„ „ von 9i die 

 Klassenanzahl h CSi,) endlich, so gilt dasselbe auch für die Klassenanzahl von 9i'. 



Der Beweis ergibt sich ohne Mühe auf Urund der Sätze V und VI in Ver- 

 bindung mit dem Satz I. 



Koinmutative Ring'bereiche. 



IX. Die 'Klassenanzahl h eines konmmlalloen ganzzahllgen Rliiyberelches 9{ Ist 

 dann und nur dann endlich, wenn die Diskriminante von 9t nleJd verschwindet. 



Zum Beweis dieses Satzes, durch den die am Schluß des vorigen Para- 

 graphen aufgeworfene Frage für komnmtative Ringbereiche im bejahenden 

 Sinne beantwortet wird, genügt es zu zeigen, daß die Klassenanzahl jedes 

 kommutativen in P irreduzihlen ganzzahligen Ringes 9t endlich ist. In diesem 

 Fall zerfällt aber 'dl , wie aus bekannten Sätzen folgt (vgl. B., § 4), im Gebiete Z 

 aller Zahlen in lauter lineare voneinander verschiedene Bestandteile. Genauer: 

 ist n der Grad von 9t , so läßt sich in Z eine Ähnlichkeitstransformation P 

 angeben, so daß für jedes Element .4 von 9t 



o • • • o 



PAP- -^ 



^-O O ■ ■ ■ et' ' 



wird, wobei ol einem algebraischen Zahlkörper P (&) vom Grade n angehört uiul 



' Hierbei ist zu beacliten, ilal.i die in bezug auf P iiTeduzibleii tJestandteile eines be- 

 liebigen ganzzaidigen Riiigbereicbe.s auf Giund des Satzes \'l als ganzzablige Ringe aufgefaßt 

 werden können. 



