Schur: Über Kingbereiche im Gebiete der ganzzahligen linearen Substitutionen 161 



sc' , • ■ ■ , aS" ~ '* die zu a in bezug auf P (9-) konjugierten Zahlen bedeuten. Außer- 

 dem ist der Rang von 5R genau gleich n. 



Hieraus folgt aber, daß die den einzelnen A entsprechenden cc einen mit 

 !H isomorphen Zahlring V des Körpers P (S-) bilden. Wir haben also den im 

 5^ i, behandelten Fall vor uns und können auf (Irund der Sätze III und III* 

 gewiß behaupten, daß die Klassenanzahl von ^ endlich ist. 



§ 7- 

 Kine Hilfsbetrachtung;-. 



Eine Matrix, derep Koeffizienten ganze Zahlen eines algebraischen Zahl- 

 körpers P (3-) sind, möge kurz als eine ganzzahllc/f Matrix aus P (&) bezeichnet 

 werden. Ich behaupte nun: 



X. Zu jedem System 



vi, , ^. , • • • , 4,^ 



von it" ganzzahligeii Matrizen n-ten Grades aus P (S-) ; die in P (9) (und also auch 

 im Gebiete L aller Zahlen) linear unabhängig sind, lassen sich gewisse endlich viele 

 ganze Zahlen des Körpers P(5-) 



(23-) ^.,K, ■■■ ,K 



angeben, denen folgende Eigenschaft zukommt : Ist 



n,, B,, ■ ■ ■ , B,,^ 



rin zweites System von ganzzahligen Matrizen n-ten Grades aus P(^)j und weiß man, 

 daß eine Ahnlichkeitstransformation P existiert, die den Bedingungen 



(24) • /M„P ' = B (v=,,2....,,r) 



genügt, so kann man P als eine ganzzahlige Matrix aus P {<t) so wählen, daß die 

 Determinante ^ von P einer der Zahlen (23.) assoziiert ist. 



Der Beweis ist leicht zu erbringen. Haben die n' Matrizen A'„,j dieselbe 

 Bedeutung wie in §1, so wird, wenn A.. = (oj^'«) ist, 



(-^5-) A = X^«ß^«r=- ' (,.= 1,2,...,»^) 



Da die A, ünear imabhängig sein sollen, ist die Determinante 7 der u* Größen 

 fli'Jj von Nidl verschieden. Die Umkehrung der Gleichungen (25.) liefert 



wobei auch die r[;|; ganze Zahlen des Körpers P(S^) smd. Hieratis folgt 



(-'6.) yPK,-P '= ^c„,li . 



Die Koeffizienten yj„,j der Matrix P können von vornherein als ganze Zahlen 

 aus V (<t) gewählt werden. Ihr größter gemeinsamer Idealteiler sei b, . Sind nun 



Sitzuugsber. plijs.-ici.Hlli. Kl. WTi- l.'l 



