1B2 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 18. Mai 1922. — Mitt. vnm 2. März 



Repräsentanten der A Idealklasson von P (&) , so muß b, einem dieser Ideale 

 äquivalent sein. Ist etwa üb, = rt^^ und ersetzt man P durch f^P, so wird 

 auch diese Matrix den Gleichungen (24.) genügen und ganzzaldige Koeffizienten 

 aus P(&) besitzen. Hierbei tritt aber an Stelle von b, das Ideal o^ . Wir 

 können daher von vornherein annehmen, daß b, eines der Ideale (27.) bedeutet. 

 Setzt man nun 1^ = | P | und bezeichnet die Koeffizienten von P"' mit 



-^ , so folgt aus (26.), daß die it Quotienten 



o 



yp.ßi. 



(o. S, .<, >. = I , 2. 



ganze algebraische Zahlen sind. Bedeutet daher b„ ^ , den größten gemeinsamen 



7 

 Idealteiler der //' Zahlen q^,, so ist -^ b,b„ , ein ganzes Ideal. Sind nun 



o 



e, , Cj , • • ■ , e„ die Elementarteiler der Matrix P, so wird 



b„_, = e, c, , • • • e„__, , b„ ^ (Ä) = e, e^ , • • • c„ . 



Folglich ist 7 b, durch e„ teilbar. Da aber c„ durch jedes der Ideale c, teilbar 

 ist', so erscheint (S) als ein Teiler des Ideals 7"b", das nach Voraussetzung 

 mit einem der h Ideale 



(28.) y"a:. y"a':. • ■ • , y" (\l 



übereinstimmt. Versteht man nun unter 



{'\) . (A) , ■ • ■ , (^J 



die sämtlichen Hauptideale, die unter den Teilern der A Ideale (28.) vorkommen, 

 so genügen die k Zahlen ^^ den Bedingungen unseres Satzes. 



Es sei noch bemerkt, daß aus dem Satze X ohne Mühe gefolgert werden 

 kann: Bedeutet die Gesamtheit der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahl- 

 körpers P(S-) und ist 9t in dem in der Einleitung festgelegten Sinne ein Ring- 

 bereich beliebigen Grades über , der im Gebiete Z aller Zahlen irreduzibel 

 (d. h. vom Range n") ist, so hat die Klassenanzahl von SR (in bezug auf c) einen 

 endlichen Wert". 



§8- ■ ' 

 Ein allgemeines System von g-anzzahlig-en Rin^bereichen mit 

 endlicher Klassenanzahl. 



Beim Studium derjenigen ganzzahligen Ringbereiche, deren Klassenanzahl 

 endlieh ist, kommt es, wie unser Satz VIII lehrt, in erster Linie darauf an, 

 die in P irreduziblen Ringe zu beherrschen. Ein solcher Ring 5R ist in Z voll- 

 ständig reduzibel und seine in Z irreduziblen Bestandteile 



' Vgl. E. Steinitz, Ri'chtevkii/f Systeme und Modukn. in algebraischen Zahlkörpurn. I., .Math. 

 Annalen Bd. 71 (1912), S. 328 — 354. 



- Versteht man insbesondere unter iR die Gesamtheit aller ganzzahligen Matrizen «-ten 

 Grades aus P (3) , .'*i) wird die Klassenanzahl \()n i>{, wie sich leicht zeigen läßt, gleich der 

 Anzahl derjenigen Idealklassen von ?(•&), deren )i-ic. Potenz die Hauptklasse ist. 



