Schur: Über RingbereicLe im Gebiete der ganzzahligen linearen Substitutionen 163 



51, 2t', • • •, ?l^^--) 

 sind alle von demselben (irade /. Sie lassen sich ferner so wählen, daß 51 in 

 einem gewissen algebraischen Körper des Grades *• rational ist und 51' , • • ■ , 51''^'' 

 als die zu 5( in bezug auf diesen Körper konjugiert algebraischen Gruppen er- 

 scheinen. Bestimmen ferner die Spuren der Matrizen von 51 den Körper P (3-) 



des Grades /, so ist - r=. m eine in /' aufgehende ganze Zaiil. Diese Zahl, 



deren Quadrat in dem Grade n ^ sf von 9i als Teiler enthalten ist, nenne ich 

 den Index des Ringes di (vgl. B. § 4). Die s irreduziblen Bestandteile von $R 

 zerfallen dann in / Komplexe von je m in Z einander ähnlichen. 



Besonders einfach ist nun der Fall m := i , der sich auch kurz dadurch 

 charakterisieren läßt, daß jede mit 9{ (d. h. mit allen Elementen von SR) ver- 

 tauschbare Matrix T^ von gewissen endlich vielen unter den Matrizen von 9t 

 hnear abhängig ist. Wenn also V ganze rationale Koeffizienten besitzt, so ist 

 V in dem zu 9t gehörenden Vollring 91* enthalten (vgl. § i). Eine Matrix V 

 dieser Art, die in 9{ entlialten ist, möge wie üblich ein invariantes Element 

 von 9t heißen und die Gesamtheit (1 dieser invarianten Elemente das Zentrum 

 von 9t genannt werden. Der Vollring 9t* umfaßt dann alle ganzzahÜgen Ma- 

 trizen, die mit dem Teilring (£ von 9t vertauschbar sind. Die Rangzahlen r 

 und r' der Ringe 9t mid ß haben die Werte If^ und /'. Im Körper Z zerfällt 

 ferner £ vollständig in lauter lineare Bestandteile. Genauer kann behauptet 

 werden: Es läßt .sich eine Ähnlichkeitstransformation Q angeben, so daß für 

 jedes Element C von 6 



(7/'.', o • • • o 

 o y' E, ■ ■ ■ o 

 ....... o 

 o o • • ■ y'--'»A; 



wird, wobei E, die Einheitsmatrix des Grades / bedeutet und 7 eine ganze 

 Zahl von P{9-) ist, zu der 7, • ■ • , 7*' '* konjugiert algebraisch sind. Die Ge- 

 samtheit der den verschiedenen Elementen C von ß entspreclienden 7 erzeugt 

 hierbei den ganzen Kör])er P (S^) • D'"' Matrix Q kann außerdem in der Form 



/7^. , /^. , ■■■■Li \ 



a; ,■ K, • • • . L\ 



Q 



'7 



gewählt werden, wobei die L^ ganzzalilige Matrizen /-ten (Grades aus P(S-) sind 

 und L', , ■ ■ ■ , L'^l^'^ die zu L, konjugiert algebraischen Matrizen bedeuten. Das 

 Quadrat der Determinante von Q ist dann eine ganze rationale Zahl q. Hat 

 man (£ in dieser Weise zerfällt, so ergibt sich für den ganzen Ring 9t von 

 selbst die Zerfällung 



' Dies gilt aui'h für //( ■ 1 und. da n = m / /' ist. .so wird 



/ = .■. f=\/L. .= 1/^. 



