164 Sitzung der phys.-malb. Klasse vom 18. Mai 1922. — Mitt. vom 2. März 



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in seine in Z irreduziblen Bestandteile, wobei 21 in I' (3^) rntional ausfallt und 

 ?r , ■ • ■ , 2l<'~'' zu Sl konjugiert algebraisch sind. 



Das bis jetzt Gesagte folgt aus bekannten Sätzen über irreduzible Gruppen 

 linearer Substitutionen (vgl. B. § 4). 



Nun können wir zum Beweis eines Satzes übergehen, der als das Haupt- 

 resultat dieser Arbeit anzusehen ist: 



XI. Die Klassenanzahl h eitles ganzzahligen Ringbereiches ^il mit /tickt ver- 

 schwindender Diskriminante, der im Gebiete P der rationalen Zahlen in hinter irre- 

 duzible Ringe vom Index i zerfällt, Iiat stets einen ^endlichen Wert. 



Auf Grund des Satzes VIII genügt es anzuneliinen, daß !'1{ selbst ein in I' 

 irreduzibler Ring vom Index i ist. Es seien nun 



(32.) ^1f , ;1i, , ^1t , • • • 



Repräsentanten der verschiedenen zu % gehörenden Klassen ä(|uivalenter Ringe. 

 Unter 



(33-) (£ , e, , e, , • • • 



verstehe man die zugehörigen Zentren, die vVieder untereinander ähnliche Ringe 

 darstellen. Die Ringe (32.) kann man offenbar innerhalb der sie enthaltenden 

 Klassen so wählen, daß jedesmal, wenn z>i )1i„ und !'1{; ä([uivalente Zentren 

 gehören, t„ = li^ wird. Da nun die Klassenanzahl A' des konimutativen voll- 

 ständig zerfallenden Ringes (E nach Satz IX einen endlichen Wert liat, so enthält 

 dann das System {^li-) ""'' endlich viele (höchstens//) verschiedene Ringe. Um 

 nun einzusehen, daß A eine endliche Zahl ist, haben wir nur zu zeigen, daß 

 unter den Ringen (32.) nur endlich viele dasselbe Zentrum besitzen können. 

 Unter Berücksichtigung des Satzes I genügt es aber, Iiierzu zu beweisen : Ist 

 (S ein 1)1 älinlicher Ring, dessen Zentrum mit dem Zentrum ß von 3i über- 

 einstimmt, so läßt sich eine ganzzahlige Ähidichkeitstransformation P S(j be- 

 stimmen, daß 



(34.) P;1?P-' = © 



wird und außerdem die Determinante | F | dem absoluten Betrage nach unter- 

 halb einer allein von J)t abhängenden Schranke gelegen ist. 



Dies ergibt sich nun folgendermaijen. Man wähle unter Beibehaltung 

 der früheren Bezeichnungen eine Matrix Q der Form (30.), für welche die 

 Gleichungeji (29.) bestehen. Neben der Gleichung (31.) gilt dann, weil (£ auch 

 das Zentrum von © ist, in entsprechender Weise 



35) q^(l'=^ 



o 



sl^C 



