Schur: Ulier Ringbereiche im Gebiete der gaiizziililigeii linearen Suljstitutionen l()i> 



Hierbei erscheinen 5t und 53 als im Körper P(o-) rationale Gruppen, die in Z 

 irreduzibel und einander ähnlich sind. Ferner lassen sich die Koeffizienten 



aller Matrizen von 51 und 53 in der Form schreiben, wo st. eine ganze Zahl 



q 



von P (S-) ist und q wie früher die ganze rationale Zahl | Q \' bedeutet. Da 

 mm aber bek?inntlich die in Z irreduzible Gnii^pe des Grades /'genau /'" linear 

 unabhängige Elemente enthält, so folgt aus dem Satze X, daß die Gleichung 



(36.) Ä5i/e-- = » 



durch eine ganzzahlige Matrix U aus P (S-) befriedigt werden kann, deren Deter- 

 minante ^ einer der Zahlen eines allein durch 51 bestimmten Systems von end- 

 Hch vielen ganzen Zahlen 



des Körpers V {^) assoziiert ist. Man setze nun, wenn W . . /i"' '' die zu 



R konjugiert, algebraischen Matrizen bedeuten, 



iE o • • ■ o 

 /<"■•• o 



< . ■ ■ • /<"' 

 Dann folgt aus (3*1.), (35.) und (36.) 



Q^q • = St^^Mil 'S ■ . 



Setzt mau also (^ 'SQ= 7', so wird (£) ^ T'Üil' ' . Die zu (30.) uiverse 

 Matrix Q ' liat aber, wie eine einfaclie Betrachtung lehrt, die Form 



/Üf, , M[ ■ ■ J/." 



■ , _ hr . .1/: ■ Ulf 



wobei die M, in P(S-) rationale Matrizen des Grades /' und Jf>' , • • • , Mf '' zu 

 M, konjugiert sind. Man erkennt nun unmittelbar, daß die Koeffizienten von 

 2' rationale Zahlen sind. Außerdem lassen sie sich auf den gemeinsamen 

 Nenner q = \Q \'' bringen. 



Setzt man nun P=zqT, so wird P eine Matrix mit ganzen rationalen 

 Koeffizienten, die der Gleichung (34.) genügt, und deren Determinante 

 gleidi wird 



|P| = r/«| T\ = q"\S\=:.q"X(S). 



Die Norm X0) der Zahl r5 ist aber abgesehen vom \'orzeichen eine der Zableii 



X{1) , Xil) , . . . , iY(4) . 



Jedenfalls liegt also, wie wir erreichen wollten, der absolute Betrag von | P\ 

 unterhalb einer von der Wahl von ® unabhängigen Schranke. 



Aus dem nun bewiesenen Satz XI folgt insbesondere, daß bei den ganz- 

 zahligen Ringbereichen der Grade /^ = 2 und a :^ 3 das Nichtverschwinden 



