1 6G Sitzung der phys.-niiith. Klasse vom 18. Mai 1922. — Mitt. vom 2. März 



<ler üiskriminante eine notwendige und hinreichende Bedingung für die End- 

 lichkeit der Khissenanzahl dar.stellt. Für n = 4 gil)t es aber sclion Ring- 

 bereiche (nämlich die in l' irreduziblen Ringe vom Index 2), für welche die Frage 

 nach der F^ndliciikeit der Klassenanzahl mit Hilfe der in dieser Arbeit ent- 

 wickelten Methoden nicht entschieden werden kann. Nur in besonders ge- 

 arteten Fälleu gelingt die Entscheidung unter Benutzung der Theorie der 

 quadratischen Formen; die Klassenanzahl erweist sich hierbei immer als eine 

 endliciie Zahl (vgl. Einleitung). 



i5 9- 

 Eine erg-änzende Bemerkung" über Vollringe. 



Im allgemeinen läßt sich für die zu einem gaiizzahligen Ring di gehörenden 

 Klassen Ä' äquivalenter Ringe keine Kompositionsvorschrift angeben, die ge- 

 statten würde, sie als Elemente einer (iriijjpe zu deuten. Es soll hier nun 

 ein Fall hervorgehoben werden, in dem dies wenigstens für einen Teil der 

 Klassen St gelingt. 



Es sei nämlich 9t ein in P irreduzibler VoUiing n-t&ix Grades vom Index 

 m = I ■ Ein solcher Ring besitzt, wie aus den im vorigen Paragraphen ge- 

 machten Bemerkungen hervorgeht, eine wichtige Eigenschaft: Ist ^ das Zentrum 

 oon 9i . so ist 9i iiJe/itisch mit der (iesamtheit der ganzzahUgen Matrizen n-ten Grades, 

 die mit li vertause/ibar sind. 



Unter den zu 5H gehörenden Klassen i?, deren Anzahl auf (Trund des 

 Satzes XI endlich ist, betrachte man nun diejenigeii Klassen 



(37-) 5^, ,i?,, •••,%, 



deren Ringe mit ^ äquivalente Zentren besitzen ; hierbei möge ^, den Ring 9i 

 enthalten. In jeder dieser Klassen ^„ gibt es dann Ringe 9t„ , deren Zentrum 

 genau gleicli (S ist; ein solcher Ring heiße kurz normiert. Ist nun 



(38.) X = PJIP~' 



mit ganzzahligem P„ , so ist P„ mit 6 vertauschbar und also ein Element von 

 !1{. Hieraus folgt zugleich, daß jedes Element R„ von 9t„ mit 5 vertauschbar 

 ist und demnach in 9t vorkommt, was wir durch 9t„ < 9t andeuten. 



Ich behaupte nun, daß 9t., alle Elemente von 9t umfeßt, so daß also der 

 Übergang von 9t zu 9t„ einen »Automorphismus« des Ringes 9t liefert. 



Hierzu genügt es offenbar zu zeigen, daß auch P„~ ' 9t P„ ein ganzzahliger 

 Ring ist. Dies ergibt sich folgendermaßen: Aus (38.) folgt wegen 9t„ < 9t , 

 daß jedenfalls die 9t ähnlichen Ringe 



P,!9tP„ % P^9tP 



— 3 



ganzzahlig sind. Da nun die Klassenanzahl von 9t endlich ist, so muß es 

 zwei Exponenten A < f/ geben, so daß 



p:9tp„ ' ^ /^:9tP„ " 



wird. Üies bedeutet aber, daß eine unimodulare ganzzahlige Matrix V und 



