SrHiTR: Über Ringbereiche im Gebiete iler gan/.zaliligen linearen Substitutionen 167 



eine mit ?li vertausclibare, niclit notwendig ganzzahligo Älatrix Z oxistieien, 

 so daß 



(39.) vp: = p:z 



wird. Hierbei ist auch V mit (£ vertausclihar und folglicli in JK enthalten. 

 Beachtet man noch, daß Z mit dem Element /'„ von ÜK vertauschbar ist, so 

 folgt aus (39.) für V = iJL — X, daß V= P:Z, also 



p., '(»'^Kr ')/'„ = P: "^liP,, < " 



wird. Hier steht aber rechts ein ganzzahliger Ring, ferner stimmt I^ÜRF"', 

 weil V unimodular und in l'lt enthalten ist, abgesehen von der Reihenfolge der 

 F^lemente, gewiß mit $H überein. Daher ist auch P~ ' !'1?P„ ein ganzzahliger Ring. 

 Man betrachte nun zwei (gleiche oder verschiedene) Klassen S^„ und A3 

 aus der Reihe (37.). Sind dann 



(40.) X = P„ 3i P.. ' , ^K 5 = P,i ))i Pr, ' 



zwei normierte Repräsentanten dieser Klassen mit ganzzahligen P„ und P^ , 

 so folgt aus 91;; < 9t , daß auch 



/'„ 9t , P„ ' = /'„ Pg 9{ Pf • P„ ■ 



ein ganzzahliger Ring mit dem Zentrum 6 ist. Dieser Ring gehört einer ge- 

 wissen Klasse ^„ aus der Reihe (37.) an. Die Klasse R, ist aber hierbei allein 

 durch ^„ und ^3 bestimmt. Dann wählt man an Stelle der Ringe (40.) zwei 

 andere normierte Repräsentanten 



dieser Klassen, so wird 



(l = (/P„A , Q: :^ VP^W 



wobei A' und J" zwei mit 9i vertauschbare Matrizen bedeuten, während T^ und F 

 imimodular, ganzzahlig und in 9t enthalten sind. Beachtet man nun, daß A' 

 auch mit 'Bß vertauschbar ist, so erhält man 



Q„ ®, Q - - = ( rP„ VP^) 9t ( UP^ y Pß) - ■ .. 

 Setzt man 



UPJ'Pf = W, 

 so läßt sich dies in der Form 



.(41-) Q.^iQ. '=^^'(i'Jh'\'}^^^ ' 



schreiben. Hierbei i.st aber P„ V P,r ' , weil V in 9t enthalten ist, ganzzahlig 

 und zugleich unimodular. Daher ist auch W eine ganzzahlige unimodulare 

 Transformation. Die Gleichung (41) setzt nun in Evidenz, daß Q,,'B,iQcr' fi^r 

 mit Hilfe der Ringe (40.) bestimmten Klasse Ä'. angehört. 

 Setzt man nun 



a, = ^„%, 



so gilt für diese Kompositionsvorschrift gewiß das assoziative Prinzip. Die 

 Klasse k, , die den Ring 9t sellisl enthält, spielt hier die Rolle der Einheit. 



