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der Elliiise, der von P iiml P begrenzt wird. Wir lassen </' ahneiimen und, 

 der Bedingung t + t' =^ Const. eutsprecliend, <p' zunehmen, bis cp — c/)'=:o wird. 

 Wir kommen so zu dem zwischen P und P' gelegenen Punkte P„ , wo cj) und 

 (// denselben Wert f/',, , t und t' denselben Wert t,-^, s und s' denselben Wert s„ 



haben, r und r' aber verschwinden in P^ wegen de.s Faktors tg ' 



Demnach sind hier zwei Konstanten näher bestimmt; es ist 



t-hl' = 2 /f„ , 



.v + .<' — (r — r') = 2.v„ . 

 Es sind aber 



die beiden EUipsenbogen, in die der Bogen .s — s' durch den Punkt /*, geteilt 

 wird. Wenn man diese einführt, stellt sich die letzte Gleichung so dar: 



T — t' = T — r' ; 



die beiden Teilbogen haben dieselbe Difiterenz wie die entsprechenden Größen 

 T und r' . Das Integral yr/^ über den Bogen PP' wird aber durch den Punkt P^ 

 in zwei gleiche Teile geteilt. 



Wir fassen jetzt beide Probleme zusammen; statt der Amplituden (/) , </>' 

 führen wir ihre halbe Summe und die halbe Differenz ein: 



— (</) + f//) = ^ , ^ (,/, — </,') = /3 . 



2 2 



c + c' und c — z' sind in beiden Fällen die Größen ni sin (2/3) und ii sin (2 a) ; 

 es ist daher in beiden: 



2(c^-4-c'') = m" sin'(2/3) + ?r sin' (2 a) 



= m' ■+■ n' — m' cos' ( 2 /S) — n" cos" (2a). 



Es ist aber, da (/> = a + /3 , cp' = a, — /3 ist : 



cos ( 2 i:^ -4- 2 /3) , 



cos (2 Ci 2 /3) . 



2 2 



Demnacli, da tc' — // = 7nn ist: 



2 {z" -+- c'^) = 2 (a' + Ä^) — 27nn cos (2 a) cos (2 ,8) . 



Die Vergleichung beider Ausdrücke für 2{z'-hz'') liefert die Gleichung: 



7n' + «' — 2 (rt' + b") = 31' , 



wo M die Differenz bedeutet: 



3f = m cos (2/3) — n cos (2 c^) . 



Es ist aber, da rnu = a' — 6" ist: 



«"(jrt — «)" — b^{m-+-nY 

 zu + n — 2 {((' + lO ) = . 



