SiiioriKV : Kn.KH.schc l'iiiiktc \ I [) 



(las heißt : 



COS" (ot) sin' (fli) 

 r?' — A If — X 



CS muß Ä t'iiic positive Größe sein, die zwischen ir und /r liegt. — 

 Wir setzen jetzt: 



cos (cd) ^ sin (u) , v) 



cos (a3) a ' cos(,8) A 



und betrachten (^ , vi als die Koordinaten eines Punktes (^ der Ebene. Dann 

 ist erstens 



(('' — A 6' — A 

 und man hat zweitens, da ,6 = </> — c4 = u — <// ist: 



cos (,G) ^'cos (ci) cos ((/)) H- sin (ä) sin (i/i) 



= cos {ci) cos (<//) + sin {u) sin (<//) ; 



indem man diese Gleichungen durch cos (3) dividiert, erhält man 



— cos (</)) -f- ~r sin Up) = i , 

 a 



y 



' -^ cos (^') -h -— sin ((/>') = i . 



Hiernach ist Q der Punkt, in dem die beiden in P und F' an die Ellipse ge- 

 legten Tangenten sich sclmeiden, und er wird in jedem der beiden Pralle auf 

 einen Kegelschnitt beschränkt, der dieselben Brennpunkte liat wie der gegebene, 

 in dem einen Fall, avo A negativ ist, auf eine ihn umschließende Ellipse, in 

 dem andern auf eine Hyperbel. 



r und r' aber sind die beiden Tangenten PQ und P'Q . Denn da 

 c/. ■=. <j) — ;3 ist, so ist 



^ cos (oc) — cos ((/)) cos {,S) 



cos (3) 



r/sin(</.)tg(,o), 



sin («) — sin {(p) cos (^) /,.,,-; 



.-y = i ^^^^ = -Acos(</.)tg(,.o). , 



Daher: (PQf = t\ Ebenso: (P' Q)' = (t)' . Da r und r', bei unsern An- 

 nahmen, positiv sind, so sind sie die Längen PQ und P'Q . 

 In den Formeln 



r-h-' -hS = Const. - ' 



sind das GRAVKssche und das Mac GuLLAOiische Theorem enthalten. Die drei 

 Größen t, t' und Ü bilden zusammen eine geschlossene Linie; diese bewegt 



