ISO Sitzung ilor pliy.s.-iiiiUh. Klasse \oin 15. Juni 1922. — IMitt. vuiu IS. .Mai 



sicli im ersten Falle, dem des (iRAVKSschen Theorems, so, daß ilire Länge 

 T-hr'-^-S unverändert bleibt; der Punkt Q beschreibt dabei eine größere, mit 

 der gegebenen konfokale p]llipse. 



Im zweiten Falle, dem des Mac CuLLAGHSchen Theorems, bewegen sich, 

 von einem willkürlichen festen Punkte P„ der Ellipse aus, die beiden Punkte 

 P und P' so, daß die Differenz der durchlaufenen Wege gleich der Differenz 

 der anstoßenden Tangenten »ist; der Punkt Q beschreibt, von P^ aus, eine 

 mit der gegebenen Ellipse konfokale Hyperbel. 



Das sind zwei sehr Ijekannte Sätze, die zu den schönsten der analytischen 

 Geometrie geliören; ihre erste Grundidee ist wohl bei Euler und Faonano 

 zu suchen. 



Das Theorem von Mac Cullagh zeigt fast uiuuittelbar, Avie der zwischen 

 P und P' liegende P^Uipseiipunkt P^, mit Zirkel und Lineal zu finden ist, der 

 den Bogen PP' in dem arithmetischen Verhältnis der anstoßenden Tangenten 

 teilt. Ks braucht dabei die Ellipse selbst gar nicht gezeichnet zu sein. Ge- 

 geben denken wir uns nur die Brenni)unk(e F und 6', die größere Halbachse 

 — - diese sei a — , und die Punkte P und P , die auf der Ellipse liegen 

 sollen — also irgend zwei, deren mittlere Entfernungen von den" Brennpunkten 

 gleich a sind. Der Punkt Q läßt sich dann konstruieren, man braucht nur 

 die Nebenwinkel von FPG und FP'G zu halbieren. Da bei der Bewegung, 

 die der Bedingung t-ht = 2 (^ entspricht, wenn P mit P,, zusammenfällt, auch 

 P' und Q an dieselbe Stelle kommen, so ist P„ ein Punkt der durch Q hin- 

 durchgehenden konfokalen Llyperbel. Es ist demnach FP^ — GP^ = FQ — GQ. 

 Da aber P„ auch auf der Ellipse liegt, so ist zugleich FPa + GP„= 2a. 

 Damit sind PP^ luid GP„ selbst gegeben; P„ , als Durchschnittspunkt zweier 

 Kreise, ist also ein punctum geometrice assignatum. 



Stellen wir uns jetzt, dem GRAVESSchen Theorem entsprechend, die Frage: 

 Wie findet man geometrisch, nur mit Lineal und Zirkel, wenn drei Punkte 

 P, , P, , Pj der Ellipse gegeben sind, den vierten P^ , falls zwischen den 

 zugehörigen Werten von t die Bedingung t^ — i^ = t^ — /, vorgeschrieben Lst? 



Die Gleichung t — t' = 4 — /, wird dann erfüllt für t = t^, t' ^ t,, aber 

 auch für t = t^, t' = t^. Der Schnittpunkt R der beiden Tangenten in Pj 

 und P^ muß daher auf derselben konfokalen Ellipse liegen, wie der Schnitt- 

 punkt Q der Tangenten in P, und P, . 



Der Punkt Q läßt sich ohne weiteres konstruieren. Mit Q zugleich ist 

 die größere Halbachse der konfokalen Ellipse gegeben, als das arithmetische 

 Mittel zwischen den Entfernungen des Punktes Q von den beiden Brennpunkten. 

 Mit der größeren ist auch die kleinere Halbachse bestimmt, da zwischen den 

 Halbachsen der beiden Ellipsen die Gleichimg A' — B" = a' — // stattfindet. 

 Damit ist der Punkt R beschränkt auf eine Ellipse 



deren Halbachsen A , B gegeben sind. 



R ist einer der beiden Schnittpunkte dieser größeren Ellipse mit der 

 Tangente an die kleinere in Pj ; er ist so zu wählen, daß" bei der Bewegung 



