Schottky: EuLEBsche Punkte 181 



P, Q in Pj/i übergeht. Denkt nicin sich R gefunden, so ist F^ der Berührungs- 

 punkt der zweiten Tangente, die von R aus an die kleinere Ellipse gelegt 

 werden kann. 



Damit ist P^ zwar geometrisch definiert, aber nicht konstruiert ; es sind 

 zwei Hilfskonstruktionen notwendig. 



Erstens: Wenn eine Ellipse nicht gezeichnet ist, sondern nur durch ihre 

 aufeinander senkrechten Halbachsen OM = a , ON = h gegeben, wenn außer- 

 dem eine gerade Linie L vorliegt, von der man weiß, daß sie die Ellipse 

 schneidet, dann die Schnittpunkte wirklich geometrisch, d. h. mit Zirkel und 

 Lineal zu bestimmen. 



Zweitens; Wenn außer der Figur MON ein außerhalb der Ellipse liegender 

 Punkt Po gegeben ist, die Berührungspunkte der beiden Tangenten zu ßnden, 

 die von P„ aus an die Ellipse gelegt werden können. 



Beide Aufgaben lassen sich leicht lösen, indem man die Ellipse durch 

 einen Kreis ersetzt. 



Jedem Punkte P der Ebene läßt sich ein Bildpunkt P' zuordnen, der 



dieselbe Abszisse hat wie P:x' = x, aber die Ordinate : y' = ™ v/ . 



Seine Konstruktion ist etwa so auszuführen : Man zieht zunächst von 

 aus die beiden Geraden hx — ay = o und x — y = Q, von denen die erste 

 durch den Punkt a , b , die zweite durch den Punkt x ^ a, y =■ a hindurch- 

 geht. Von P aus l)ewege ich mich parallel zur Abszissenlinie bis zum Durch- 

 schnitt P, mit der ersten Geraden, von dort senkrecht gegen /-'/-', bis zum 

 Durchschnitt P^ mit der zweiten und ergänze die Figur PP^ P^ zu einem 

 Rechteck PP,P,P' , dann ist P' das Bild von P. 



Denn sind x,y die Koordinaten von P, so hat P, die Koordinaten 



-7- V , v; die von P, sind: -rV, ^i-V • die von P' also: x, -rV- 



Auf dem umgekehrten Wege kommt man von P' zu P. 

 Durch diese Abl)ildung geht jode gerade Linie wieder in eine Gerade 

 über, die Ellipse aber in den Kreis 



X" -I- y' = m' . 



Wenn nun die Linie L vorliegt, so konstruieren wir das Bild von L 

 und seine Durchschnittspunkte mit dem Kreise; von diesen aus hat man nur 

 Senkrechte gegen die Abszissenlinie zu ziehen, um die Durchschnittspunkte 

 von Jj mit der Ellipse zu erhalten. — 



Ist der Punkt P^ gegeben, so konstruieren wir sein Bild P„ und, nach 

 bekannter Methode, die Berührungspunkte der beiden Tangenten von PJ an 

 den Kreis. Diese beiden Punkte sind aber die Bilder derjenigen, in denen 

 die von P^ aus an die Ellipse gezogenen Tangenten die Ellipse berühren. 



Die Konstruktion für den Punkt P^ ist weniger einfach als die für den 

 zwischen P und P' liegenden Punkt P„ beim Mac CuLLAcnschen Theorem. 

 Innnerhin kann man doch sagen, daß der Punkt P, geometriscli angegeben ist. 



